實變函數的複習資料
一、集合
1、 證明:(A B) C A (B C);(A B) C (A C) (B C)。
2、 證明:單調上升(下降)有上界(下界)的數列{xn}必有上確界(下確界),且sup{xn} limxn,
nn
(inf{xn} limxn)。 nn
3、 證明:若{An}單增,則limAn An;若{An}單減,則limAn An。 n n 1n n 1
114、 證明:E[f a] E[f a ];E[f a] E[f a ]。 n 1n 1nn
5、 證明:任何無限集必與其一個真子集對等。
6、 證明:若A是無限集,B是有限集或可數集,則A B A。
7、 證明:有理數全體成一可數集。
8、 證明:開區間(0,1)是一不可數集。
9、證明:無理數全體成一不可數集。
二、點集
1、設A B,證明:A B ,A0 B0,A B。
2、證明: A A A。
3、設E是[0,1]中的全體有理點,求E在R內的E ,E0,E。
4、設E {(x,y)|0 x y 1},求E在R內的全體內點集,外點集,界點集,聚點集,孤立點集。
5、設E R,證明:E是開集,E 和E是閉集。
6、證明開集的任意並、有限交仍爲開集。並舉例說明開集的任意交不一定是開集。
7、證明開集與閉集的對偶性。
8、證明:點集F爲閉集的充要條件是F F。
9、設f(x)是定義在R上的函數,則f(x)在其上連續的充要條件是:對任意開集G,點集n012220
f 1(G) {x|f(x) G}是開集。
三、測度論
n1、 若E {(0,0, ,0)} R,求mE。 *
**2、 證明:若A B,則mA mB。
3、 若mA 0,則對任意B,證明:m*(A B) m*B。
4、 若m*(E1E2) m*(E2E1) 0,
證明:m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。
5、 設S1,S2均爲可測集,S2 S1且mS2 ,證明:m(S1 S2) mS1 mS2。
6、 證明:凡外測度爲零之集皆可測。
7、 若X {1,2,3}, {{1},{2,3}},試寫出X上由 所生成的 代數。
8、 若{En}是一列可測集,證明:
1)limEn與limEn都是可測集;
n n *
2)m(En) mEn;
n n
3)若m(
n 1UEn) ,則limmEn m(limEn)。 n n
9、若可測集列{En}滿足
四、可測函數 m(En 1 n) ,證明m(limEn) 0。 n
1、 若E是可測集,f(x) c,x E,c爲常數,證明f(x)是E上的可測函數。
2、 若E是可測集,A E,f(x)爲定義在E上的函數,f(x)
數的充要條件是E爲可測集。
3、 設f(x)是定義在可測集E上的函數,證明:f(x)是E上的.可測函數的充要條件是對任意有限實數a, 1,x A,證明f(x)是E上可測函 0,x A
E[f a]是可測集。
4、 證明可測集上的連續函數必是可測函數。
5、 設E R是可測集,f(x)爲定義在E上的實函數,證明:f(x)爲E上的可測函數的充要條件是對
任意開集G R,f 1n(G)是可測集。
6、 設fn(x)依測度收斂於f(x),證明:fn(x)依測度收斂於g(x)的充要條件是 f(x) g(x)a.e.於E。
7、 設{fn(x)}是可測集E上一列可測函數,f(x) a.e.於E。若對任給 0,存在E的可測子集
E ,使得m(EE ) ,且{fn(x)}在E 上一致收斂於f(x),證明:{fn(x)}在E上幾乎處處收斂於f(x)。
8、 設E是可測集,f(x) a.e.於E,若對任給 0,存在E的閉子集F,使得m(EF) ,且
f(x)在F上連續,證明:f(x)是E上的可測函數。
五、積分論
1、 設mE ,f(x)是定義在E上的非負可測函數,證明:若f(x)在E上有界,則f(x) 在E上L可
積。
2、 設E是可測集,f(x)是定義在E上的非負可測函數,證明:
1)若 Ef(x)dx 0,則f(x) 0a.e.於E;
2)若A,B是E的兩個互不相交的可測子集,則 A Bf(x)dx f(x)dx f(x)dx。 AB
3、設E是可測集,f(x)與g(x)都是定義在E上的非負可測函數,
證明:若f(x) g(x),則 Ef(x)dx g(x)dx。 B
4、設A,B是可測集且A B,f(x)是定義在B上的非負可測函數,證明: Af(x)dx f(x)dx。 B
E上一列非負可測函數,當x E時,對任意n Z有fn(x) fn 1(x)且5、設E是可測集,{fn}
n 1爲
limfn(x) f(x)。若 f1(x)dx ,證明:lim fn(x)dx f(x)dx。 n En EE
6、設E是可測集,證明:
(1)設f在E上積分確定且f(x) g(x),則g也在E上積分確定且
(2)設f和g都在E上積分確定且f(x) g(x),則 Ef(x)dx g(x)dx。 E Ef(x)dx g(x)dx。 E
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