一次函數的複習資料

一、知識要點

1、函數概念：在一個變化過程中有兩個變量x、y,如果對於x的每一個值，y都有惟一的值與它對應，那麼就說x是自變量，y是x的函數.

2、一次函數和正比例函數的概念

若兩個變量x，y間的關係式可以表示成y=kx+b（k，b爲常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x爲自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.

說明： （1）一次函數的自變量的取值範圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定.

（2）一次函數y=kx+b（k，b爲常數，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數爲1，一次項係數k必須是不爲零的常數，b可爲任意常數.

（3）當b=0，k≠0時，y=b仍是一次函數.

（4）當b=0，k=0時，它不是一次函數.

3、一次函數的圖象（三步畫圖象）

由於一次函數y=kx+b（k，b爲常數，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱爲直線y=kx+b．

由於兩點確定一條直線，因此在今後作一次函數圖象時，只要描出適合關係式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（- ，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.

4、一次函數y=kx+b（k，b爲常數，k≠0）的性質（正比例函數的性質略）

（1）k的正負決定直線的傾斜方向；①k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；

②k?O時，y的值隨x值的增大而減小．

（2）|k|大小決定直線的`傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越小（直線緩）；

（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；

①當b＞0時，直線與y軸交於正半軸上；

②當b＜0時，直線與y軸交於負半軸上；

③當b=0時，直線經過原點，是正比例函數．

（4）由於k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；

5、確定正比例函數及一次函數表達式的條件

（1）由於正比例函數y=kx（k≠0）中只有一個待定係數k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值．

（2）由於一次函數y=kx+b（k≠0）中有兩個待定係數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關於k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值．

6、待定係數法

先設待求函數關係式（其中含有未知常數係數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知係數，從而得到所求結果的方法，叫做待定係數法．其中未知係數也叫待定係數．例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定係數．

7、用待定係數法確定一次函數表達式的一般步驟

（1）設函數表達式爲y=kx+b；

（2）將已知點的座標代入函數表達式，解方程（組）；

（3）求出k與b的值，得到函數表達式．

8、本章思想方法

（1）函數方法。函數方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關係，函數的實質是研究兩個變量之間的對應關係。

（2）數形結合法。數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法。

二、典型例題

例1、當m爲何值時，函數y=-（m-2）x +（m-4）是一次函數？

例2、 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質量不能超過18kg，並且每掛1kg的物體，彈簧就伸長0．5cm，寫出掛上物體後，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x(kg）之間的函數關係式，寫出自變量x的取值範圍，並判斷y是否是x的一次函數．

例3、（2003廈門）某物體從上午7時至下午4時的溫度M（℃）是時間t（時）的函數：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的溫度爲 __ ℃．

例4、已知y+m與x-n成正比例（其中m，n是常數）

（1）y是x的一次函數嗎？請說明理由；在什麼條件下，y是x的正比例函數？

（2）如果x=-1時，y=-15；x=7時，y=1，求這個一次函數的解析式。並求這條直線與座標軸圍成的三角形的面積。例5、（哈爾濱）若正比例函數y=（1-2m）x的圖象經過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當x1?x2時，y1＞y2，則m的取值範圍是_____________例6、一次函數y=kx+b的自變量x的取值範圍是-3≤x≤6，相應函數值的取值範圍是-5≤y≤-2，則這個函數的解析式爲 .例7、我省某水果種植場今年喜獲豐收，據估計，可收穫荔枝和芒果共200噸．按合同，每噸荔枝售價爲人民幣0.3萬元，每噸芒果售價爲人民幣0.5萬元．現設銷售這兩種水果的總收入爲人民幣y萬元，荔枝的產量爲x噸（0＜x＜200）．

（1）請寫出y關於x的函數關係式；