七年級數學下冊《因式分解》知識點總結

第三章 因式分解

1。因式分解

定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項式幾個整式的積 例：axbx

13131

x（ab） 3

因式分解是對多項式進行的一種恆等變形，是整式乘法的逆過程。 2。因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定義：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。

公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數字或字母，也可以是一個單項式或多項式。

係數——取各項係數的最大公約數

字母——取各項都含有的字母

指數——取相同字母的最低次冪

例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析：從多項式的係數和字母兩部分來考慮，係數部分分別是12、—8、6，它們的最大公約數爲2；字母部3232分a3b3c，a3b2c3，a4b2c2都含有因式abc，故多項式的公因式是2abc。

②提公因式的步驟 第一步：找出公因式；

第二步：提公因式並確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式後剩下的另一個因式。

注意：提取公因式後，對另一個因式要注意整理並化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的，要先提取符號。

例1：把12ab18ab24ab分解因式。

解析：本題的各項係數的最大公約數是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式爲6ab。

解：12ab18ab24ab

6ab（2a3b4a2b2）

例2：把多項式3（x4）x（4x）分解因式

解析：由於4x（x4），多項式3（x4）x（4x）可以變形爲3（x4）x（x4），我們可以發現多項

式各項都含有公因式（x4），所以我們可以提取公因式（x4）後，再將多項式寫成積的形式。 解：3（x4）x（4x） =3（x4）x（x4） =（3x）（x4）

例3：把多項式x22x分解因式

解：x22x=（x22x）x（x2） （2）運用公式法

定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。

a。逆用平方差公式：a2b2（ab）（ab）

b。逆用完全平方公式：a22abb2（ab）2

c。逆用立方和公式：ab（ab）（aabb（拓展））

d。逆用立方差公式：a3b3（ab）（a2abb2（拓展））

注意：①公式中的字母可代表一個數、一個單項式或一個多項式。

②選擇使用公式的方法：主要從項數上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項式，可考慮完全平方公式。

例1：因式分解a214a49

解：a14a49=（a7）2

例2：因式分解a2a（bc）（bc） 解：a2a（bc）（bc）=（abc） （3）分組分解法（拓展）

①將多項式分組後能提公因式進行因式分解； 例：把多項式abab1分解因式

解：abab1=（aba）（b1）=a（b1）（b1）（a1）（b1） ②將多項式分組後能運用公式進行因式分解。

例：將多項式a2ab1b因式分解

解：a2ab1b

=（a2abb）1（ab）1（ab1）（ab1）

2x （4）十字相乘法（形如（pq）xpq（xp）（xq）形式的多項式，可以考慮運用此種方法）

方法：常數項拆成兩個因數p和q，這兩數的和pq爲一次項係數

x2（pq）xpq

x2（pq）xpq（xp）（xq）

例：分解因式x2x30 分解因式x252x100 補充點詳解 補充點詳解

我們可以將—30分解成p×q的'形式， 我們可以將100分解成p×q的形式， 使p+q=—1， p×q=—30，我們就有p=—6， 使p+q=52， p×q=100，我們就有p=2， q=5或q=—6，p=5。 q=50或q=2，p=50。

所以將多項式x2（pq）xpq可以分 所以將多項式x2（pq）xpq可以分 解爲（xp）（xq） 解爲（xp）（xq）

x

x5

x2

—6

x50

x2x30（x6）（x5）

3。因式分解的一般步驟：

x252x100（x50）（x2）

如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常採用分組分解法，最後運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括爲：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解爲止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明

確指出在哪個範圍內因式分解，應該是指在有理數範圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

一、 例題解析

提公因式法

提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面。 確定公因式的方法：

係數——取多項式各項係數的最大公約數；

字母（或多項式因式）——取各項都含有的字母（或多項式因式）的最低次冪。 【例 1】 分解因式：

⑴15aab

2n1

10abba（n爲正整數）

2n

⑵4a2n1b6an2b1（、n爲大於1的自然數）

【鞏固】 分解因式： （x）2n1（xz）（x）2n2（x）2n（z），n爲正整數。

【例 2】 先化簡再求值，xxxx2，其中x2，2

求代數式的值：（3x2）2（2x1）（3x2）（2x1）2x（2x1）（23x），其中x。

3

1． 2

22221

【例 3】 已知：bca2，求a（abc）b（cab）c（2b2c2a）的值。

33333

公式法

平方差公式：a2b2（ab）（ab）

①公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反； ②每一項都可以化成某個數或式的平方形式；

③右邊是這兩個數或式的和與它們差的積，相當於兩個一次二項式的積。 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 ①左邊相當於一個二次三項式；

②左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數或式的完全平方式；

分解因式：x3（xz）（za）x2z（zx）x2（zx）（xza）。

③左邊中間一項是這兩個數或式的積的2倍，符號可正可負；

④右邊是這兩個數或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定。 一些需要了解的公式：

a3b3（ab）（a2abb2） a3b3（ab）（a2abb2） （ab）3a33a2b3ab2b3 （ab）3a33a2b3ab2b3