七年級下冊數學整式的運算知識點總結
一、整式
單項式和多項式統稱整式。
a)由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。
b)單項式的係數是這個單項式的數字因數,作爲單項式的係數,必須連同數字前面的性質符號,如果一個單項式只是字母的積,並非沒有係數,係數爲1或-1。
c)一個單項式中,所有字母的指數和叫做這個單項式的次數(注意:常數項的單項式次數爲0)
a)幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中,每個單項式叫做多項式的項。其中,不含字母的項叫做常數項。一個多項式中,次數最高項的次數,叫做這個多項式的次數.
b)單項式和多項式都有次數,含有字母的單項式有係數,多項式沒有係數。多項式的每一項都是單項式,一個多項式的項數就是這個多項式作爲加數的單項式的個數。多項式中每一項都有它們各自的次數,但是它們的`次數不可能都作是爲這個多項式的次數,一個多項式的次數只有一個,它是所含各項的次數中最高的那一項次數.
a)整式的加減實質上就是去括號後,合併同類項,運算結果是一個多項式或是單項式.
b)括號前面是-號,去括號時,括號內各項要變號,一個數與多項式相乘時,這個數與括號內各項都要相乘。
二、同底數冪的乘法
(m,n都是整數)是冪的運算中最基本的法則,在應用法則運算時,要注意以下幾點:
a)法則使用的前提條件是:冪的底數相同而且是相乘時,底數a可以是一個具體的數字式字母,也可以是一個單項或多項式;
b) 指數是1時,不要誤以爲沒有指數;
c)不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆,對乘法,只要底數相同指數就可以相加;而對於加法,不僅底數相同,還要求指數相同才能相加;
d)當三個或三個以上同底數冪相乘時,法則可推廣爲
(其中m、n、p均爲整數);
e)公式還可以逆用:
(m、n均爲整數)
a)冪的乘方法則:
(m,n都是整數數)是冪的乘法法則爲基礎推導出來的,但兩者不能混淆。
b)(m,n都爲整數)。
c) 底數有負號時,運算時要注意,底數是a與(-a)時不是同底,但可以利用乘方法則化成同底,如將(-a)3化成-a3
d)底數有時形式不同,但可以化成相同。
e) 要注意區別(ab)n與(a+b)n意義是不同的,不要誤以爲(a+b)n=an+bn(a、b均不爲零)。
f) 積的乘方法則:積的乘方,等於把積每一個因式分別乘方,再把所得的冪相乘,即(ab)n=anbn(n爲正整數)。
g) 冪的乘方與積乘方法則均可逆向運用。
三、同底數冪的除法
a)同底數冪的除法法則:同底數冪相除,底數不變,指數相減,
b)在應用時需要注意以下幾點:
1) 法則使用的前提條件是同底數冪相除而且0不能做除數,所以法則中a0。
2)任何不等於0的數的0次冪等於1,即a0=1(a0) ,如100=1 ,(-2.50=1),則00無意義。
c)任何不等於0的數的-p次冪(p是正整數),等於這個數的p的次冪的倒數,即
( a0,p是正整數),而0-1,0-3都是無意義的;當a0時,a-p的值一定是正的,當a0時,a-p的值可能是正也可能是負的,如, d)運算要注意運算順序。
四、整式的乘法
單項式相乘,它們的係數、相同字母分別相乘,對於只在一個單項式裏含有的字母,連同它的指數作爲積的一個因式。
單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點:
a)積的係數等於各因式係數積,先確定符號,再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是,將係數相乘與指數相加混淆;
b)相同字母相乘,運用同底數冪的乘法法則;
c)只在一個單項式裏含有的字母,要連同它的指數作爲積的一個因式;
d)單項式乘法法則對於三個以上的單項式相乘同樣適用;
e)單項式乘以單項式,結果仍是一個單項式。
單項式乘以多項式,是通過乘法對加法的分配律,把它轉化爲單項式乘以單項式,即單項式與多項式相乘,就是用單項式去乘多項式的每一項,再把所得的積相加。
單項式與多項式相乘時要注意以下幾點:
a)單項式與多項式相乘,積是一個多項式,其項數與多項式的項數相同;
b)運算時要注意積的符號,多項式的每一項都包括它前面的符號;
c) 在混合運算時,要注意運算順序。
多項式與多項式相乘,先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項相乘,再把所得的積相加。
多項式與多項式相乘時要注意以下幾點:
a)多項式與多項式相乘要防止漏項,檢查的方法是:在沒有合併同類項之前,積的項數應等於原兩個多項式項數的積;
b)多項式相乘的結果應注意合併同類項;
c)對含有同一個字母的一次項係數是1的兩個一次二項式相乘(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次項係數爲1,一次項係數等於兩個因式中常數項的和,常數項是兩個因式中常數項的積。對於一次項係數不爲1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到。
五、平方差公式
兩數和與這兩數差的積,等於它們的平方差,即其結構特徵是:
a)公式左邊是兩個二項式相乘,兩個二項式中第一項相同,第二項互爲相反數;
b) 公式右邊是兩項的平方差,即相同項的平方與相反項的平方之差。
八、完全平方公式
兩數和(或差)的平方,等於它們的平方和,加上(或減去)它們的積的2倍,即口訣:首平方,尾平方,2倍乘積在中央;
a)公式左邊是二項式的完全平方;
b)公式右邊共有三項,是二項式中二項的平方和,再加上或減去這兩項乘積的2倍。
c)在運用完全平方公式時,要注意公式右邊中間項的符號,以及避免出現這樣的錯誤。
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