高二數學《導數與函數的性質》知識要點總結

單調性

⑴若導數大於零，則單調遞增;若導數小於零，則單調遞減;導數等於零爲函數駐點，不一定爲極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。

⑵若已知函數爲遞增函數，則導數大於等於零;若已知函數爲遞減函數，則導數小於等於零。

根據微積分基本定理，對於可導的函數，有：

如果函數的導函數在某一區間內恆大於零（或恆小於零），那麼函數在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱爲函數的單調區間。導函數等於零的點稱爲函數的駐點，在這類點上函數可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）。進一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對於滿足的一點，如果存在使得在之前區間上都大於等於零，而在之後區間上都小於等於零，那麼是一個極大值點，反之則爲極小值點。

x變化時函數（藍色曲線）的切線變化。函數的導數值就是切線的`斜率，綠色代表其值爲正，紅色代表其值爲負，黑色代表值爲零。

凹凸性

可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增，那麼這個區間上函數是向下凹的，反之則是向上凸的。如果二階導函數存在，也可以用它的正負性判斷，如果在某個區間上 恆大於零，則這個區間上函數是向下凹的，反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱爲曲線的拐點。