冪函數的性質知識點總結

冪函數的性質知識點總結

形如y=x^a(a爲常數)的函數，即以底數爲自變量 冪爲因變量，指數爲常量的函數稱爲冪函數。

定義域和值域:

當a爲不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下： 如果a爲任意實數，則函數的定義域爲大於0的所有實數; 如果a爲負數，則x肯定不能爲0，不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q爲偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數，則函數的定義域爲不等於0 的所有實數。 當x爲不同的數值時，冪函數的值域的不同情況如下： 在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。 在x小於0時，則只有同時q爲奇數，函數的值域爲非零的實數。 而只有a爲正數，0才進入函數的值域

性質:

對於a的取值爲非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0,+)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x0，函數的定義域是(-，0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作爲分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數，那麼我們就可以知道：

排除了爲0與負數兩種可能，即對於x0，則a可以是任意實數;

排除了爲0這種可能，即對於x0和x0的所有實數，q不能是偶數;

排除了爲負數這種可能，即對於x爲大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a爲不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：

如果a爲任意實數，則函數的定義域爲大於0的'所有實數;

如果a爲負數，則x肯定不能爲0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q爲偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數，則函數的定義域爲不等於0 的所有實數。

在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q爲奇數，函數的值域爲非零的實數。

而只有a爲正數，0才進入函數的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函數爲單調遞增的，而a小於0時，冪函數爲單調遞減函數。

(3)當a大於1時，冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函數過(0，0);a小於0，函數不過(0，0)點。

(6)顯然冪函數無界。