冪函數的知識點總結
冪函數定義:
形如y=x^a(a爲常數)的函數,即以底數爲自變量冪爲因變量,指數爲常量的函數稱爲冪函數。
定義域和值域:
當a爲不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:如果a爲任意實數,則函數的定義域爲大於0的所有實數;如果a爲負數,則x肯定不能爲0,不過這時函數的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q爲偶數,則x不能小於0,這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數,則函數的定義域爲不等於0的所有實數。當x爲不同的數值時,冪函數的值域的不同情況如下:在x大於0時,函數的值域總是大於0的實數。在x小於0時,則只有同時q爲奇數,函數的值域爲非零的實數。而只有a爲正數,0才進入函數的值域
性質:
對於a的取值爲非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:
首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函數的定義域是R,如果q是偶數,函數的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作爲分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能爲負數,那麼我們就可以知道:
排除了爲0與負數兩種可能,即對於x0,則a可以是任意實數;
排除了爲0這種可能,即對於x0和x0的所有實數,q不能是偶數;
排除了爲負數這種可能,即對於x爲大於且等於0的所有實數,a就不能是負數。
總結起來,就可以得到當a爲不同的數值時,冪函數的定義域的不同情況如下:
如果a爲任意實數,則函數的定義域爲大於0的所有實數;
如果a爲負數,則x肯定不能爲0,不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q爲偶數,則x不能小於0,這時函數的定義域爲大於0的所有實數;如果同時q爲奇數,則函數的`定義域爲不等於0的所有實數。
在x大於0時,函數的值域總是大於0的實數。
在x小於0時,則只有同時q爲奇數,函數的值域爲非零的實數。
而只有a爲正數,0才進入函數的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.
可以看到:
(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。
(2)當a大於0時,冪函數爲單調遞增的,而a小於0時,冪函數爲單調遞減函數。
(3)當a大於1時,冪函數圖形下凹;當a小於1大於0時,冪函數圖形上凸。
(4)當a小於0時,a越小,圖形傾斜程度越大。
(5)a大於0,函數過(0,0);a小於0,函數不過(0,0)點。
(6)顯然冪函數無界。
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