八年級數學二次函數與圖形變換知識點

二次函數是國中數學中最精彩的內容之一，也是歷年會考的熱點和難點。其中，關於函數解析式的確定是非常重要的題型。隨着會考面臨新課程改革，教材的內容和學習要求變化較大，其中一個突出的變化就是強化了對圖形變換的要求，那麼二次函數和圖形變化的結合，將是同學們在學習中不可忽視的內容。

圖形變換包含平移、軸對稱、旋轉、位似四種變換，那麼二次函數的圖像在其圖形變化(平移、軸對稱、旋轉)的過程中，如何完成解析式的確定呢？解決此類問題的方法很多，關鍵在於解決問題的着眼點。筆者認爲最好的方法是用頂點式的方法。因此解題時，先將二次函數解析式化爲頂點式，確定其頂點座標，再根據具體圖形變換的特點，確定變化後新的頂點座標及a值。

1、平移：二次函數圖像經過平移變換不會改變圖形的形狀和開口方向，因此a值不變。頂點位置將會隨着整個圖像的平移而變化，因此只要按照點的移動規律，求出新的頂點座標即可確定其解析式。

例1.將二次函數y=x2-2x-3的圖像向上平移2個單位，再向右平移1個單位，得到的新的圖像解析式爲_____

分析：將y=x2-2x-3化爲頂點式y=(x-1)2-4，a值爲1，頂點座標爲(1，-4)，將其圖像向上平移2個單位，再向右平移1個單位，那麼頂點也會相應移動，其座標爲(2，-2),由於平移不改變二次函數的圖像的形狀和開口方向，因此a值不變，故平移後的解析式爲y=(x-2)2-2。

2、軸對稱：此圖形變換包括x軸對稱和關於y軸對稱兩種方式。

二次函數圖像關於x軸對稱的圖像，其形狀不變，但開口方向相反，因此a值爲原來的相反數。頂點位置改變，只要根據關於x軸對稱的點的座標特徵求出新的頂點座標，即可確定其解析式。

二次函數圖像關於y軸對稱的'圖像，其形狀和開口方向都不變，因此a值不變。但是頂點位置會改變，只要根據關於y軸對稱的點的座標特徵求出新的頂點座標，即可確定其解析式。

例2.求拋物線y=x2-2x-3關於x軸以及y軸對稱的拋物線的解析式。

分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值爲1，其頂點座標爲(1，-4)，若關於x軸對稱，a值爲-1，新的頂點座標爲(1，4)，故解析式爲y=-(x-1)2+4；若關於y軸對稱，a值仍爲1，新的頂點座標爲(-1，-4)，因此解析式爲y=(x+1)2-4。

3、旋轉：主要是指以二次函數圖像的頂點爲旋轉中心，旋轉角爲180°的圖像變換，此類旋轉，不會改變二次函數的圖像形狀，開口方向相反，因此a值會爲原來的相反數，但頂點座標不變，故很容易求其解析式。

例3.將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點旋轉180°，則所得的拋物線的函數解析式爲________

分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值爲1，頂點座標爲(1，2)，拋物線繞其頂點旋轉180°後，a值爲-1，頂點座標不變，故解析式爲y=-(x-1)2+2。