淺談國小數學空間與圖形教學

導語：我們對空間與圖形的教學的理解，不象對問題解決教學的理解那麼系統。促使我們比較多地自覺或不自覺地進行着比較，並且在比較過程中去辨析、實踐與反思，由此逐步形成了一些共識。

現在新課程強調要着眼於學生空間觀念的培養和生成，大量增加了幾何教學的內容。面對這一領域的變化，如何更科學地實施教學，真正達到新課標所提出的要求，我們始終以學習與思考拓展認識視野，以把握和理解新教材爲依託，以案例研究爲抓手，取得了一些進展。

一、拓展了認識視野。

只有在觀念和思想上對要把握的項目有更深入的認識，才能使行動更科學和自覺，也才能居高臨下地去辨別實踐中的得失、正誤。

學生在國中學習數軸、平面幾何，高中學習立體幾何、解析幾何等數學內容，非常重要的基礎在國小。這些高一級知識，不僅要求學生有一種基礎性的幾何知識，更是要有清晰的空間觀念。例如平面幾何中的添輔助線，非常重要的要有一種對圖形的切拼構造能力和圖形的對稱、旋轉和平移的幾何變換能力。學生要學習和掌握這些複雜的幾何知識，需要豐富的空間觀念。這種能力一方面當然主要是在學習這些知識的過程中生成的，但另一方面也要依賴於學生在國小幼兒園階段的空間與幾何的經驗、感覺的積累，如果在少兒階段不積累這些空間感覺和經驗，到後來這種感覺就失去了，到要用這種感覺時就困難了。就像施那普拉在離任中國足球隊主教練時對中國足球發展的建言中提到的那樣：中國足球隊員缺少踢球感覺，這些感覺本應在少兒時期於街道、弄堂裏就要完成的，而現在要到專業訓練時再來尋找，這就困難了。沒有這種類似於直覺的引領，球隊水平就很難提高，也就是沒有練好“童子功”。其實所有的學習都是如此，空間與圖形也不例外。

二、推動了學習思考。

我們對空間與圖形的教學的理解，不象對問題解決教學的理解那麼系統。促使我們比較多地自覺或不自覺地進行着比較，並且在比較過程中去辨析、實踐與反思，由此逐步形成了一些共識。

1．空間觀念是各方面整體協調的結果。

空間觀念是對現實中的物體和幾何體的形狀、大小、位置關係及其變換的整體把握。從現實中的物體和幾何體出發，就會涉及把現實空間中的經驗遷移到幾何空間中，以此把握幾何空間，再用在幾何空間中抽象而成的'特徵、性質來解釋現實空間、解決現實空間中的問題，在這樣抽象、還原的過程中空間觀念才能建立。從幾何體與平面圖形之間的關係出發，就會涉及到平面從幾何體上剝離下來的；如何剝離，就又涉及到視圖，從各個不同的方向觀察。從方向與位置出發，就會涉及到距離和角度，涉及到前後左右上下、東南西北以及關於垂直與水平方向組成的座標；會涉及到有關變換，平移、旋轉與對稱，以及這些變換過程中的變化部分與不變部分等等，由此就形成了一條知識鏈。只有以上這些都能夠協調起來，而且各方面之間有一種內在的邏輯聯繫，由此組合成一個整體，空間觀念才能真正得以確立。

2．兒童空間觀念的形成有其特定的認知特點。

我國的心理學家劉範、張增傑等通過研究得出一些有啓示性的結論。其中對兒童幾何發展的路徑作出了分析，“兒童是先認識一個籠統的三維空間、整體，再分別認識其中的二維、一維空間，或者部分；在已獲得了有關概念時，再理解在構成上部分到整體，由一維到二維、三維的關係。後者是前者在高一級認知水平上的逆轉”；對感知與概念、感知與推理之間的矛盾作了分析，其本質是“守恆”，提出了概念守恆與多樣的兩個屬性，並由此聯繫到變式問題等等。只有理解與把握了這些，我們才能更好地組織國小空間與圖形的教學，才能使教學走上科學化的道路。

三、促進了對教材的理解。

教材是結合教學現實，按照學生的心理特點而創造。它是一個全息系統，蘊含着空間與圖形教學的所有信息，我們在學習和實踐中逐步形成了這樣幾個方面認識。

1．整體推進，線索清晰。

教材的整體框架是依據空間與圖形的四個方面有序地展開，整體上是螺旋式上升，讓學生對幾何事實和空間觀念有一個逐步深入的過程。圍繞兩條大的線索：一條是以圖形的空間關係研究爲線索，主要是研究空間的三個方面：（1）現實空間和幾何空間之間的關係。幾何空間源於現實空間，是現實空間的抽象，同時在幾何空間中獲得的認識只有再回到現實中去進一步認識、把握現實空間，才能使抽象空間與現實空間融爲一體，推動學生空間觀念的生成。（2）體與體、面與面、線與線之間的關係。它們之間的關係就產生了位置、方位與變換，就產生了平行、垂直與角，就有各種不同的拼搭與組合。由此內化成關於空間的若干結構，這是空間觀念。（3）體與面、面與線、體與線之間的關係，這些關係的形成依賴於視線與投影、分解與分析、想象與推理，在這些關係的探求就會有三維、二維和一維圖形之間的相互轉化，這種轉化越多、越靈活，空間觀念的生成就越迅速與牢固。另一條是以數量關係研究爲線索，也主要體現在三個方面：（1）用一維長度研究圖形中線段的長短，圖形之間的距離；（2）用二維面積來把握圖形的大小；（3）用三維體積來研究圖形佔據空間的多少。以上兩條線索不是分離的，而是融合的。

2．綜合、滲透。

教材在編寫中非常注重綜合與滲透。例如在低年級的認識基本的規則圖形時，是從長、正方形出發，再通過把長、正方形分割成若干三角形，再由這些三角形通過拼搭形成平行四邊形和梯形，這樣的設計既滲透了面積守恆的觀念，又滲透了拼搭中相等邊的理解，這些拼配對以後學習對稱、旋轉、圖形面積的推導都是一個基礎。還有在認識三角形，特別是等腰等邊三角形時，讓學生用一張正方形紙折出一個等邊三角形，這不僅是一種實際操作，更可引發學生的平面邏輯推理，而且這種推理還相當重要，要用到圖形對稱、正方形的特徵和邊與邊的互換。綜合產生集聚效應，生成突變；滲透能使認識達到透徹和深入。這樣的設計安排，就有可能使學生生成的知識是“一個帶鉤的原子”，由此形成堅固的知識結構，產生組合質變。

四、提升了對經驗的總結。

圍繞空間與圖形領域的教學內容，我們進行了有主題、有實踐、有反思的案例研究，通過課堂這個充滿創造的教學領域，獲得了一些認識。

1．空間與圖形的學習應該在活動中建構。

例如在教學三角形“任意兩邊之和大於第三邊”這條原理時，分兩個層次教學：先是讓學生從五根小棒中任意抓三根圍一圍，讓學生直觀感知到有些是可以圍成的，有些是圍不成的，同時使學生產生一種空間直覺，當兩條較短的邊合起來小於最長邊是圍不成的，當兩條較短的邊合起來大於最長邊是可以圍成的；接着讓學生邊圍邊有序地記錄每根小棒的長度，並對此進行必要的分類；最後讓學生在空間直覺引領下形成的三邊關係幾何模型和基於數據尋找三邊關係的代數模型這兩者的相互作用中抽象出三角形三邊之間的關係。從以上片斷中我們可以看出，只有在操作與實踐活動的探究中才能把握幾何空間特徵和性質的實質，也就是把握空間既要有活動，又要有思考。

2．知識是過程與結果的雙重建構。

新課程強調學生在學習過程中的感受與體驗。所以在編寫中爲了加強教學的探究性，很多地方都只是展示了知識生成和教學活動的過程，對基本的幾何知識和概念都不直接出示。例如我校有一位教師上面積和麪積單位這一課時，提供了大量資源和素材讓學生圍繞物體表面和平面圖形，通過看一看、摸一摸、畫一畫、想一想、比一比把握其大小，應該說學生的活動和體驗也較豐富。課後凌老師給我們評課時也充分肯定了這一點，但同時提出了一個建議：是否在學生大量生動的實踐活動和感受體驗的基礎上，引導學生進行必要的抽象和概括，提升到物體表面和平面圖形的大小叫面積。這樣既有豐富的過程，又有基本的抽象，過程與結果之間相互作用，使學生的理解既穩定又開放，既抽象又具象。

以上是幾年來對這一課題研究中的一些認識和體會，隨着研究的深入，越來越感到這些認識的膚淺，越來越感到研究的難度，也越來越感到研究的必要。