數學知識要點七年級（下學期）

相交線與平行線

這部分內容大多數學校在七年級上學期已經講過了。當然，即使上學期學過了，大多學校會在開學時重新進行一下複習鞏固。

從相交線和平行線這部分內容開始，就真正開始了國中幾何的學習。剛開始很多學生會不習慣幾何嚴密的邏輯證明過程，往往還保留着國小或是七年級上學期解決幾何問題時，只注重結果的思想。證明題的過程書寫不規範是最大的一個問題。所以這部分內容學習的一個重點就是要慢慢培養學生規範的書寫，千萬不能只滿足於題目會做或者會證明這個層次上。

從題型的角度來說，這部分內容主要有2個最爲重點的題型：第一類題型就是結合相交線和平行線的性質去考察角度的計算問題，這是會考選擇題中幾乎每年都會考察的一類題型，需要重點的關注。解這類題一方面要學會靈活的應用相交線和平行線的一些性質，另一方面要掌握一些常見的幾何模型，例如“M”角模型等等，這樣可以快速準確的解題。

另一類題型就是和平行線相關的證明問題。學習這類題型要注意2點：一是剛纔已經說過的對於書寫過程的規範性的訓練；二是做這類題型的主要目的，是訓練學生對於平行線判定方法和平行線性質的深入理解和靈活應用，大家要注意，會考不會單獨考察平行線的證明問題，一定會結合三角形或是四邊形綜合考察，其中涉及到的就是平行線的判定和性質，所以在剛開始學習這類題目時，就要把握住這個大原則，千萬不能就題論題。

平面直角座標系

從學習平面直角座標系開始，就進入到國中代數很重要的一個大的領域—函數這部分了。國中代數分爲三大塊：數與式、方程與不等式、函數。前兩部分內容，學生在國小階段都接觸過相關的一些內容，所以學起來不會太陌生，上手比較快。但是對於函數的相關知識，學生很少接觸過，所以剛開始學會速度慢一些，有時會感覺不太順手，這些都是很正常的現象，學生和家長也不必過於擔心。這其實也是一個好機會，因爲大家都沒太接觸過，基本處於同一條起跑線，只要認真去學，其實是一次重新塑造自己的機會。函數這一大塊又可以分爲2大部分，一是平面直角座標系，二是4大類具體的函數（一次函數、正比例函數、反比例函數、二次函數）。會考的重點在第二塊內容，但是平面直角座標系的內容，是學習整個函數的基礎，它是我們研究具體函數的工具，再從長遠一點說，它是學生高中學習平面解析幾何和空間座標系的基礎，所以是很重要的，這一點大家一定要重視。

下面談一下具體學這部分應該注意的問題。這一部分主要有3個必須要掌握的內容：1.平面直角座標系的一系列基本概念，比如座標軸、象限、點的座標等等。內容不難，但希望剛開始學習時一定打下一個好的基礎，學紮實了。2.座標的對稱。這個內容中有一個難點，就是某個點關於另一個點的對稱點的求法，是需要學生下一點功夫研究一下的。3.座標的平移。這部分希望在學習時真正理解平移的內涵，靈活運用。比如說如果點不變，座標軸平移了，怎麼辦？像這些問題都是需要靈活處理的。

除了這三部分課本規定的必學內容外，還有2個需要額外學習的，一是特殊直線的表示方法，二是距離。可能一些有經驗的老師就會在課上直接給大家補充，如果不補充大家可以找一些課外輔導資料自己學習一下。因爲這兩部分雖然稍微難一些，但是對於深入理解平面直角座標系的內容和爲後續的一次函數打下基礎都是很有好處的，所以希望大家學習一下。特殊直線的表示主要掌握6條特殊直線的表示：x軸、y軸、平行於x軸的直線、平行於y軸的'直線、第一和第三象限的角平分線、第二和第四象限的角平分線。距離這部分掌握“點到特殊直線的距離”和“兩點之間的距離”這兩個內容即可。

三角形的邊與角

三角形在國中幾何中是由4大塊組成：三角形的邊與角、全等三角形、直角三角形（含勾股定理和三角函數）、相似三角形。七年級下學期“三角形”這部分主要講解三角形的一些基本概念和三角形的邊與角。提醒大家注意的是，三角形可以說是整個國中幾何的主線，會考80%以上的幾何問題都是會涉及三角形的相關內容的，所以大家一定要引起足夠的重視。

學生對於三角形是比較熟悉的，剛上手學應該比較快。三角形的邊與角這部分對於學生而言主要有3個相對新的也是比較重要的內容：一是三角形三邊之間的關係，當然絕不是隻知道“兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊”這麼簡單，裏面會有很多變式，比如第三邊的範圍，最長邊、最短邊與周長的關係等等，這些變式是考試要重點考察的。這些內容學校老師一般會補充一些，春季班我們也會給同學們講解相關的內容；二是三角形的外角定理。三角形的外角定理本身不難，但是學生剛開始學不習慣用外角定理，總是利用三角形內角和以及平角的關係去求外角，這樣就會降低解題速度。即使用了這個定理，也不夠靈活，特別是在一些相對複雜的題目中就運用不熟練，這些需要經過一些題目的訓練來逐漸掌握這個定理；三是三角形的三線段，即中線、角平分線、高。這3種線段在三角形中的扮演着舉足輕重的角色。如果沒有這3種線段，三角形本身就好比“光桿司令”一個，喪失了其活力。也就是因爲有了這3種線段，三角形才能變幻出各種各樣的題目。剛開始學重點是掌握這3種線段的一些基本性質即可，爲後面的學習打下基礎。

同時，希望大家能把等腰三角形作爲一個專題拿出來系統研究一下。因爲在很多三角形的題目中，往往是以等腰三角形爲背景出的。等腰三角中有很多可以挖掘的東西，比如基礎一點的內容，像兩底角相等，再深入一點的，像“三線合一”性質等等，希望大家能夠全面的總結一下，爲後面遇到等腰三角形的問題鋪平道路。

課本中在這一部分還講到了多邊形。一般來時，會考對於多邊形的考察每年就是一道選擇題或是一道填空題。這道題目圍繞兩個命題方向，一是多邊形的基本知識，比如內角和公式等等。另一命題趨勢是由於是多邊形，邊數不定，所以非常容易出找規律的問題，即把邊數過渡到n條，問一些像有多少條對角線等等這一類的問題。所以在剛開始學多邊形時，就從這兩個角度出發，一是掌握多邊形的一些基本概念，另一個就是總結一些多邊形規律性的東西，做一些找規律的題目，應該說就沒有大的問題了。

二元一次方程組

方程是國中代數非常重要的內容。七年級上學期同學們學習了一元一次方程。有了這個基礎，再去學習二元一次方程組應該是比較輕鬆的。其實很多同學已經會解一般類型的二元一次方程組了。

面對這樣一種情況，無論是否已經學過二元一次方程組的解法，需要強調的是，對於代入消元和加減消元這兩種方法還是要進行大量的練習，很多學生存在眼高手低的問題，“一看就會解，一解就出錯”，說明訓練還不夠。在保證基本類型能夠準確熟練的完成這個前提下，還要學習兩個內容：一是二元一次方程組的應用題。一元一次方程的應用題就讓很多同學比較犯愁，這也是七年級上學期最大的難點，現在又來了二元一次方程組的應用題，怎麼辦？我的觀點是首先還是要克服解應用題的恐慌思想，樹立信心。其次去研究不同類型的應用題的思路和解法，最終達到觸類旁通的目的。當然應用題涉及的問題比較多，以後找個機會和大家詳細交流一下，今天大概的說一下。除了應用題外，希望能夠去學習一下一些特殊方程組的解法，比如倒數型的，係數互換型的等等，這些在寒假班也講了一些，希望能夠拿出來複習一下。

最後說一點，除了這些課本上的內容外，還希望大家能夠學習一些不定方程的知識。不定方程不是一個重點內容，會考也不會單獨考察。但是往往在學習其它內容或是解某些題目時是會用到不定方程的內容，所以建議還是學一下。也不用掌握太多的東西，就是能夠會解一些簡單的不定方程即可，其它內容不用深究。

　不等式與不等式組

不等式與不等式組是七年級下學期的一個重點內容。學習這一部分可以把解不等式作爲一個學習的主線。解不等式主要集中於兩大類型：不含參量的不等式和含參量的不等式問題。不含參量的一元一次不等式可以類比於解一元一次方程去學習，只是在最後一步係數化爲1時要注意，如果係數爲負數，要注意變號。這是剛開始學解不等式最容易出錯的地方。對於含參量的不等式，一定要學會“分類討論”的思想，即對參量進行分類討論後，轉化成一般類型的不等式的解法。“分類討論的思想”是國中代數中非常重要的一個內容，在後面學習的很多內容中比如一元二次方程等等，都會涉及這個問題，所以一定要重視。在掌握了不等式的解法後，不等式組的求解就相對簡單了。

除了學會求解不等式這一核心問題外，還要掌握兩類非常重要的題型：一是求含有參量的不等式中參量的值或範圍問題。這類問題的特徵是一般會給出我們含參的不等式或者不等式組和它們的解集，讓我們求參量的範圍或者具體值。解這類問題，還是要先帶着參量去解不等式，然後去比較解出來的解集和題目給出的解集，由於兩者是一致的，通過比較來確定參量的範圍或求出參量的值。在求不等式組的參量範圍的問題中，還往往要用到“數形結合”的方法。第二大類是題型是和不等式相關的應用性問題。比如說最值問題，比如說一些實際的應用題等等。這些問題在寒假班已經給學生講過一些，春季班還會繼續深入的去給同學分析，希望大家給予重視。

數據的收集、整理與描述

數據的收集、整理與描述屬於統計的內容。課改以後，爲了使數學更加貼近生活、培養學生的多元知識體系以及進一步提高學生對數學的興趣，概率與統計的內容進入了國中課本，改變了長期以來代數和幾何兩大部分統治國中課本的情況。但是，這部分內容畢竟很少也很簡單，還不能和代數、幾何相提並論。每年的會考對於這一大塊的考察是非常明確的。就是“1大加2小”，即一道大題6分，考察統計的內容；兩道選擇題，每題4分，一道考察統計的內容，一道考察概率的內容。一共是14分。

概率與統計分爲概率的初步知識和統計兩大部分。概率的初步知識會在九年級上學期學習。統計這部分以數據爲主線，分爲數據的收集、整理、描述、分析4大部分。七年級下學習前三部分，八年級學習數據的分析。

概率與統計本身是數學一個很大的分支。但是要和大家說的是，在國中階段所學的概率與統計的內容只是一些最基礎的知識，內容不多也很簡單，同時很貼近生活，學起來相對比較輕鬆。就七年級下這部分而言，大家重點是掌握一些統計的基本概念以及描述數據時所使用的4種常見圖形即可。特別是條形圖和扇形圖，是這幾年會考經常在大題會考察的，應給予特別關注。

　全等三角形

如果說三角形是國中幾何的核心，那麼全等三角形就是核心中的核心。因爲在國中涉及的三角形4大塊內容中（在分析三角形的邊與角時，給大家做過介紹），比較有難度的就是全等和相似兩大部分。但是現在無論大綱的要求還是會考的要求，對於相似三角形部分在逐漸降低，會考考相似的內容現在也非常少。在這種背景下，全等三角形必然就成爲了整個三角形內容體系中的核心。三角形雖然是八年級上的內容，但是考慮到它的重要位置以及追趕進度的需要，北京幾乎所有的學校都會把全等三角形放到七年級下學期來講。

全等三角形的知識體系本身其實並不多，就是性質和判定。性質就是4個量相等，即對應邊相等、對應角相等、周長相等、面積相等。判定就是5條判定定理，即SSS、SAS、ASA、AAS、HL。內容雖然不多，但是由全等三角形變換出來的三角形相關的證明題可謂是五花八門。這些問題最重要的就是在考察學生兩大塊能力：一是靈活運用全等三角形的性質和判定的能力；二是應對全等三角形和其它幾何問題綜合考察的能力。

分析清楚了所要考察學生的主要能力後，那麼在學習過程中就可以有的放矢。首先，在學習判定時，一定要徹底理解爲什麼這5條判定定理可以證明三角形全等，不要死記，對於容易出錯的地方，比如SSA這樣的錯誤，一定要自己記住一兩個例子，這樣就不容易犯錯。其次，剛開始做相關的題目時，不要認爲題目簡單就不重視，一定要通過這些簡單的題目，再去理解全等三角形的性質和判定。再次，後續學生會做一些難題，可能要添加輔助線，很多同學會很頭大，感覺沒有思路，這也確實是幾何證明題的一個難點，但是告訴大家，很多輔助線的添加是有一定方法的，比如說見到角平分線，如果在角的兩邊上見到垂線，則輔助線一般就是再做一條垂線，如果沒有見到垂線，則輔助線一般就是截一段和某條已知線段相等的線段。這就是我經常給學生總結的“遇到角分線，看見垂線做垂線，不見垂線做截線”。學生既好記，又能很快的添加出相應的輔助線。像這些內容是要積累的。最後，要做好幾何證明題，必須要多做一些題目，特別是那些經典的，非常好的題目，要反覆的練，因爲很多考試題往往就是從這些題目中改變或是組合而來的。當然，這需要老師做一些工作，給學生篩選出一些好題。春季班時，會拿出2節課給大家講解全等三角形這一大塊內容。