九年級下學期數學知識點

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　　九年級下學期數學知識點

1 二次函數及其圖像

二次函數(quadratic function)是指未知數的最高次數爲二次的多項式函數。二次函數可以表示爲f(x)=ax^2 bx c(a不爲0)。其圖像是一條主軸平行於y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關係：

一般式

y=ax∧2; bx c(a≠0,a、b、c爲常數)，頂點座標爲(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;

頂點式

y=a(x m)∧2 k(a≠0,a、m、k爲常數)或y=a(x-h)∧2 k(a≠0,a、h、k爲常數)，頂點座標爲(-m，k)對稱軸爲x=-m，頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;

交點式

y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線] ;

重要概念：a，b，c爲常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2) (y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3) (y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導出交點式的係數a=y1/(x1*x2) (y1爲截距)

求根公式

二次函數表達式的右邊通常爲二次三項式。

求根公式

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角座標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數圖像

如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有 1本身圖像，旁邊註明函數。

2畫出對稱軸，並註明X=什麼

3與X軸交點座標，與Y軸交點座標，頂點座標。拋物線的性質

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸爲直線x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點爲拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點

2.拋物線有一個頂點P，座標爲P ( -b/2a ，4ac-b^2;)/4a )

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 因爲若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因爲對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- 2a="">0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號

可簡單記憶爲左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab< 0 )，對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0，c)

拋物線與x軸交點個數

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

當a>0時，函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b05/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在

{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形爲y=ax^2 c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當x=1時 y=a b c

②當x=-1時 y=a-b c

③當x=2時 y=4a 2b c

④當x=-2時 y=4a-2b c

二次函數的.性質

8.定義域：R

值域：(對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

正無窮);②[t，正無窮)

奇偶性：當b=0時爲偶函數，當b≠0時爲非奇非偶函數。

週期性：無

解析式：

①y=ax^2 bx c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;

⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交於兩點：

([-b-√Δ]/2a，0)和([-b √Δ]/2a，0);

Δ=0，圖象與x軸交於一點：

(-b/2a，0);

Δ<0，圖象與x軸無交點;

②y=a(x-h)^2 k[頂點式]

此時，對應極值點爲(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

對稱軸X=(X1 X2)/2 當a>0 且X≥(X1 X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≤(X1 X2)/2時Y隨X

的增大而減小

此時，x1、x2即爲函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連

用)。

交點式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點和另一個點座標設交點式。兩交點X值就是相應X1 X2值。

26.2 用函數觀點看一元二次方程

1. 如果拋物線 與x軸有公共點，公共點的橫座標是 ，那麼當 時，函數的值是0，因此 就是方程的一個根。

2. 二次函數的圖象與x軸的位置關係有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應着一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

26.3 實際問題與二次函數

在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結爲求二次函數的最大值或最小值。