高中數學教學設計(15篇)

作爲一位優秀的人民教師，總歸要編寫教學設計，教學設計是一個系統設計並實現學習目標的過程，它遵循學習效果最優的原則嗎，是課件開發質量高低的關鍵所在。那麼寫教學設計需要注意哪些問題呢？以下是小編爲大家收集的高中數學教學設計，歡迎閱讀與收藏。

高中數學教學設計1

前言

爲了更好地貫徹落實和科課程標準有關要求，促進廣大教師學習現代教學理論，進一步激發廣大教師課堂教學的創新意識，切實轉變教學觀念，積極探索新課程理念下的教與學，有效解決教學實踐中存在的問題，促進課堂教學質量的全面提高，在20xx年由福建省普通教育教學研究室組織，舉辦了一次教學設計大賽活動。這次活動數學學科高中組共收到有49篇教學設計文章。獲獎文章推薦評審專家組本着公平、公正的原則，經過認真的評審，全部作品均評出了相應的獎項；專家組還爲獲得一、二等獎的作品撰寫了點評。本稿收錄的作品全部是參加此次福建省教學設計競賽獲獎作者的文章。按照徵文的規則，我們對入選作品的格式作了一些修飾，並經過適當的`整合，以饗讀者。

在此還需要說明的是，爲了方便閱讀，獲獎文章的排序原則，並非按照獲獎名次的前後順序，而是按照高中數學新課程必修1—5的內容順序，進行編排的。部分體現大綱教材內容的文章則排在後面。

不管你獲得的是哪個級別的獎項,你們都可以有成就感,因爲那是你們用心、用汗澆灌出的果實,它記錄了你們奉獻於數學教育事業的心路歷程.書中每一篇的教學設計都耐人尋味,都能帶給我們許多遐想和啓迪.你們是優秀的,在你們未來悠遠的職業里程中,只要努力,將有更多的輝煌在等待着大家。謝謝你們!

1、集合與函數概念實習作業

一、教學內容分析

《普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）》（人教A版）第44頁。-----《實習作業》。本節課程體現數學文化的特色，學生通過了解函數的發展歷史進一步感受數學的魅力。學生在自己動手收集、整理資料信息的過程中，對函數的概念有更深刻的理解；感受新的學習方式帶給他們的學習數學的樂趣。

二、學生學習情況分析

該內容在《普通高中課程標準實驗教科書·數學（1）》（人教A版）第44頁。學生第一次完成《實習作業》，積極性高，有熱情和新鮮感，但缺乏經驗，所以需要教師精心設計，做好準備工作，充分體現教師的“導演”角色。特別在分組時注意學生的合理搭配（成績的好壞、家庭有無電腦、男女生比例、口頭表達能力等），選題時，各組之間儘量不要重複，儘量多地選不同的題目，可以讓所有的學生在學習共享的過程中受到更多的數學文化的薰陶。

三、設計思想

《標準》強調數學文化的重要作用，體現數學的文化的價值。數學教育不僅應該幫助學生學習和掌握數學知識和技能，還應該有助於學生了解數學的價值。讓學生逐步瞭解數學的思想方法、理性精神，體會數學家的創新精神，以及數學文明的深刻內涵。

四、教學目標

1、瞭解函數概念的形成、發展的歷史以及在這個過程中起重大作用的歷史事件和人物；

2、體驗合作學習的方式，通過合作學習品嚐分享獲得知識的快樂；

3、在合作形式的小組學習活動中培養學生的領導意識、社會實踐技能和民主價值觀。

五、教學重點和難點

重點：瞭解函數在數學中的核心地位，以及在生活裏的廣泛應用；

難點：培養學生合作交流的能力以及收集和處理信息的能力。

六、教學過程設計

【課堂準備】

1、分組：4～6人爲一個實習小組，確定一人爲組長。教師需要做好協調工作，確保每位學生都參加。

2、選題：根據個人興趣初步確定實習作業的題目。教師應該到各組中去了解選題情況，儘量多地選擇不同的題目。

高中數學教學設計2

一、單元教學內容

（１）算法的基本概念

（２）算法的基本結構：順序、條件、循環結構

（３）算法的基本語句：輸入、輸出、賦值、條件、循環語句

二、單元教學內容分析

算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。隨着現代信息技術飛速發展，算法在科學技術、社會發展中發揮着越來越大的作用，並日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成爲現代人應具備的一種數學素養。需要特別指出的是，中國古代數學中蘊涵了豐富的算法思想。在本模塊中，學生將在中學教育階段初步感受算法思想的基礎上，結合對具體數學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程；體會算法的`基本思想以及算法的重要性和有效性，發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力

三、單元教學課時安排：

１、算法的基本概念３課時

２、程序框圖與算法的基本結構５課時

３、算法的基本語句２課時

四、單元教學目標分析

１、通過對解決具體問題過程與步驟的分析體會算法的思想，瞭解算法的含義

２、通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件、循環結構。

３、經歷將具體問題的程序框圖轉化爲程序語句的過程，理解幾種基本算法語句：輸入、輸出、斌值、條件、循環語句，進一步體會算法的基本思想。

４、通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻。

五、單元教學重點與難點分析

１、重點

（１）理解算法的含義（２）掌握算法的基本結構（３）會用算法語句解決簡單的實際問題

２、難點

（１）程序框圖（２）變量與賦值（３）循環結構（４）算法設計

六、單元總體教學方法

本章教學採用啓發式教學，輔以觀察法、發現法、練習法、講解法。採用這些方法的原因是學生的邏輯能力不是很強，只能通過對實例的認真領會及一定的練習才能掌握本節知識。

七、單元展開方式與特點

１、展開方式

自然語言→程序框圖→算法語句

２、特點

（１）螺旋上升分層遞進（２）整合滲透前呼後應（３）三線合

一橫向貫通（４）彈性處理多樣選擇

八、單元教學過程分析

1. 算法基本概念教學過程分析

對生活中的實際問題通過對解決具體問題過程與步驟的分析（喝茶，如二元一次方程組求解問題），體會算法的思想，瞭解算法的含義，能用自然語言描述算法。

2.算法的流程圖教學過程分析

對生活中的實際問題通過模仿、操作、探索，經歷通過設計流程圖表達解決問題的過程，瞭解算法和程序語言的區別；在具體問題的解決過程中，理解流程圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環，會用流程圖表示算法。

3. 基本算法語句教學過程分析

經歷將具體生活中問題的流程圖轉化爲程序語言的過程，理解表示的幾種基本算法語句：賦值語句、輸入語句、輸出語句、條件語句、循環語句，進一步體會算法的基本思想。能用自然語言、流程圖和基本算法語句表達算法，

4. 通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻。

九、單元評價設想

1、重視對學生數學學習過程的評價

關注學生在數學語言的學習過程中，是否對用集合語言描述數學和現實生活中的問題充滿興趣；在學習過程中，能否體會集合語言準確、簡潔的特徵；是否能積極、主動地發展自己運用數學語言進行交流的能力。

2、正確評價學生的數學基礎知識和基本技能

關注學生在本章（節）及今後學習中，讓學生集中學習算法的初步知識，主要包括算法的基本結構、基本語句、基本思想等。算法思想將貫穿高中數學課程的相關部分，在其他相關部分還將進一步學習算法

高中數學教學設計3

教學目標

（1）理解四種命題的概念；

（2）理解四種命題之間的相互關係，能由原命題寫出其他三種形式；

（3）理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關係；

（4）初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟；

（5）通過對四種命題之間關係的學習，培養學生邏輯推理能力；

（6）通過對四種命題的存在性和相對性的認識，進行辯證唯物主義觀點教育；

（7）培養學生用反證法簡單推理的技能，從而發展學生的思維能力、

教學重點和難點

重點：四種命題之間的關係；難點：反證法的運用、

教學過程設計

第一課時：四種命題

一、導入新課

【練習】1、把下列命題改寫成“若p則q”的形式：

（l）同位角相等，兩直線平行；

（2）正方形的四條邊相等、

2、什麼叫互逆命題？上述命題的逆命題是什麼？

將命題寫成“若p則q”的形式，關鍵是找到命題的'條件p與q結論、

如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那麼這兩個命題叫做互道命題、

上述命題的道命題是“若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形”和“若兩條直線平行，則同位角相等”、

值得指出的是原命題和逆命題是相對的、我們也可以把逆命題當成原命題，去求它的逆命題、

3、原命題真，逆命題一定真嗎？

“同位角相等，兩直線平行”這個原命題真，逆命題也真、但“正方形的四條邊相等”的原命題真，逆命題就不真，所以原命題真，逆命題不一定真、

學生活動：

口答：

（1）若同位角相等，則兩直線平行；

（2）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等、

設計意圖：

通過複習舊知識，打下學習否命題、逆否命題的基礎、

二、新課

【設問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了能構成它的逆命題外，是否還可以構成其它形式的命題？

【講述】可以將原命題的條件和結論分別否定，構成“同位角不相等，則兩直線不平行”，這個命題叫原命題的否命題、

【提問】你能由原命題“正方形的四條邊相等”構成它的否命題嗎？

學生活動：

口答：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等、

教師活動：

【講述】一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題、把其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題、

若用p和q分別表示原命題的條件和結論，用┐p和┐q分別表示p和q的否定、

【板書】原命題：若p則q；

否命題：若┐p則q┐、

【提問】原命題真，否命題一定真嗎？舉例說明？

學生活動：

講論後回答：

原命題“同位角相等，兩直線平行”真，它的否命題“同位角不相等，兩直線不平行”不真、

原命題“正方形的四條邊相等”真，它的否命題“若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等”不真、

由此可以得原命題真，它的否命題不一定真、

設計意圖：

通過設問和討論，讓學生在自己舉例中研究如何由原命題構成否命題及判斷它們的真假，調動學生學習的積極性、

教師活動：

【提問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了能構成它的逆命題和否命題外，還可以不可以構成別的命題？

學生活動：

討論後回答

【總結】可以將這個命題的條件和結論互換後再分別將新的條件和結論分別否定構成命題“兩條直線不平行，則同位角不相等”，這個命題叫原命題的逆否命題、

教師活動：

【提問】原命題“正方形的四條邊相等”的逆否命題是什麼？

學生活動：

口答：若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形、

教師活動：

【講述】一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互爲逆否命題、把其中一個命題叫做原命題，另一個命題就叫做原命題的逆否命題、

原命題是“若p則q”，則逆否命題爲“若┐q則┐p、

【提問】“兩條直線不平行，則同位角不相等”是否真？“若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形”是否真？若原命題真，逆否命題是否也真？

學生活動：

討論後回答

這兩個逆否命題都真、

原命題真，逆否命題也真、

教師活動：

【提問】原命題的真假與其他三種命題的真

假有什麼關係？舉例加以說明？

【總結】1、原命題爲真，它的逆命題不一定爲真、

2、原命題爲真，它的否命題不一定爲真、

3、原命題爲真，它的逆否命題一定爲真、

設計意圖：

通過設問和討論，讓學生在自己舉例中研究如何由原命題構成逆否命題及判斷它們的真假，調動學生學的積極性、

教師活動：

三、課堂練習

1、若原命題是“若p則q”，其它三種命題的形式怎樣表示？請寫在方框內？

學生活動：筆答

教師活動：

2、根據上圖所給出的箭頭，寫出箭頭兩頭命題之間的關係？舉例加以說明？

學生活動：討論後回答

設計意圖：

通過學生自己填圖，使學生掌握四種命題的形式和它們之間的關係、

教師活動：

略。

高中數學教學設計4

一、教學內容分析

圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質屬性,它是無數次實踐後的高度抽象.恰當地利用定義解題,許多時候能以簡馭繁.因此,在學習了橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標準方程、幾何性質後,再一次強調定義,學會利用圓錐曲線定義來熟練的解題”。

二、學生學習情況分析

我所任教班級的學生參與課堂教學活動的積極性強，思維活躍，但計算能力較差，推理能力較弱，使用數學語言的表達能力也略顯不足。

三、設計思想

由於這部分知識較爲抽象,如果離開感性認識,容易使學生陷入困境,降低學習熱情.在教學時,藉助多媒體動畫,引導學生主動發現問題、解決問題,主動參與教學,在輕鬆愉快的環境中發現、獲取新知,提高教學效率.

四、教學目標

1.深刻理解並熟練掌握圓錐曲線的定義，能靈活應用定義解決問題;熟練掌握焦點座標、頂點座標、焦距、離心率、準線方程、漸近線、焦半徑等概念和求法;能結合平面幾何的基本知識求解圓錐曲線的方程。

2.通過對練習,強化對圓錐曲線定義的理解，提高分析、解決問題的能力;通過對問題的不斷引申,精心設問,引導學生學習解題的一般方法。

3.藉助多媒體輔助教學,激發學習數學的興趣.

五、教學重點與難點:

教學重點

1.對圓錐曲線定義的理解

2.利用圓錐曲線的定義求“最值”

3.“定義法”求軌跡方程

教學難點:

巧用圓錐曲線定義解題

六、教學過程設計

【設計思路】

(一)開門見山，提出問題

一上課，我就直截了當地給出——

例題1：(1) 已知A(-2，0)， B(2，0)動點M滿足|MA|+|MB|=2，則點M的軌跡是( )。

(A)橢圓 (B)雙曲線 (C)線段 (D)不存在

(2)已知動點 M(x，y)滿足(x1)2(y2)2|3x4y|，則點M的軌跡是( )。

(A)橢圓 (B)雙曲線 (C)拋物線 (D)兩條相交直線

【設計意圖】

定義是揭示概念內涵的邏輯方法，熟悉不同概念的不同定義方式，是學習和研究數學的一個必備條件，而通過一個階段的學習之後，學生們對圓錐曲線的定義已有了一定的認識，他們是否能真正掌握它們的本質，是我本節課首先要弄清楚的問題。

爲了加深學生對圓錐曲線定義理解，我以圓錐曲線的定義的運用爲主線,精心準備了兩道練習題。

【學情預設】

估計多數學生能夠很快回答出正確答案，但是部分學生對於圓錐曲線的定義可能並未真正理解，因此，在學生們回答後，我將要求學生接着說出：若想答案是其他選項的話，條件要怎麼改?這對於已學完圓錐曲線這部分知識的學生來說，並不是什麼難事。但問題(2)就可能讓學生們費一番周折—— 如果有學生提出：可以利用變形來解決問題，那麼我就可以循着他的思路，先對原等式做變形：(x1)2(y2)2

5這樣，很快就能得出正確結果。如若不然，我將啓發他們從等式兩端的式子|3x4y|5

入手，考慮通過適當的變形，轉化爲學生們熟知的兩個距離公式。

在對學生們的解答做出判斷後，我將把問題引申爲：該雙曲線的中心座標是，實軸長爲，焦距爲。以深化對概念的理解。

(二)理解定義、解決問題

例2 (1)已知動圓A過定圓B：x2y26x70的圓心，且與定圓C：xy6x910 相內切，求△ABC面積的最大值。

(2)在(1)的`條件下，給定點P(-2,2), 求|PA|

【設計意圖】

運用圓錐曲線定義中的數量關係進行轉化，使問題化歸爲幾何中求最大(小)值的模式，是解析幾何問題中的一種常見題型，也是學生們比較容易混淆的一類問題。例2的設置就是爲了方便學生的辨析。

【學情預設】

根據以往的經驗，多數學生看上去都能順利解答本題,但真正能完整解答的可能並不多。事實上，解決本題的關鍵在於能準確寫出點A的軌跡，有了練習題1的鋪墊，這個問題對學生們來講就顯得頗爲簡單，因此面對例2(1)，多數學生應該能準確給出解答，但是對於例2(2)這樣相對比較陌生的問題，學生就無從下手。我提醒學生把3/5和離心率聯繫起來，這樣就容易和第二定義聯繫起來，從而找到解決本題的突破口。

(三)自主探究、深化認識

如果時間允許，練習題將爲學生們提供一次數學猜想、試驗的機會——

練習：設點Q是圓C：(x1)2225|AB|的最小值。 3y225上動點,點A(1，0)是圓內一點,AQ的垂直平分線與CQ交於點M,求點M的軌跡方程。

引申:若將點A移到圓C外,點M的軌跡會是什麼?

【設計意圖】練習題設置的目的是爲學生課外自主探究學習提供平臺，當然，如果課堂上時間允許的話，

可藉助“多媒體課件”，引導學生對自己的結論進行驗證。

【知識鏈接】

(一)圓錐曲線的定義

1. 圓錐曲線的第一定義

2. 圓錐曲線的統一定義

(二)圓錐曲線定義的應用舉例

1.雙曲線1的兩焦點爲F1、F2，P爲曲線上一點，若P到左焦點F1的距離爲12，求P到右準線的距離。

2.|PF1||PF2|2.P爲等軸雙曲線x2y2a2上一點， F1、F2爲兩焦點，O爲雙曲線的中心，求的|PO|取值範圍。

3.在拋物線y22px上有一點A(4，m)，A點到拋物線的焦點F的距離爲5，求拋物線的方程和點A的座標。

4.(1)已知點F是橢圓1的右焦點，M是這橢圓上的動點，A(2，2)是一個定點，求|MA|+|MF|的最小值。

x2y211(2)已知A(,3)爲一定點，F爲雙曲線1的右焦點，M在雙曲線右支上移動，當|AM||MF|最小時，求M點的座標。

(3)已知點P(-2，3)及焦點爲F的拋物線y，在拋物線上求一點M，使|PM|+|FM|最小。

5.已知A(4，0)，B(2，2)是橢圓1內的點，M是橢圓上的動點，求|MA|+|MB|的最小值與最大值。

七、教學反思

1.本課將藉助於，將使全體學生參與活動成爲可能，使原來令人難以理解的抽象的數學理論變得形象，生動且通俗易懂，同時，運用“多媒體課件”輔助教學，節省了板演的時間，從而給學生留出更多的時間自悟、自練、自查，充分發揮學生的主體作用，這充分顯示出“多媒體課件”與探究合作式教學理念的有機結合的教學優勢。

2.利用兩個例題及其引申,通過一題多變,層層深入的探索,以及對猜測結果的檢測研究,培養學生思維能力,使學生從學會一個問題的求解到掌握一類問題的解決方法. 循序漸進的讓學生把握這類問題的解法;將學生容易混淆的兩類求“最值問題”併爲一道題，方便學生進行比較、分析。雖然從表面上看，我這一堂課的教學容量不大，但事實上，學生們的思維運動量並不會小。

總之,如何更好地選擇符合學生具體情況,滿足教學目標的例題與練習、靈活把握課堂教學節奏仍是我今後工作中的一個重要研究課題.而要能真正進行素質教育，培養學生的創新意識，自己首先必須更新觀念——在教學中適度使用多媒體技術，讓學生有參與教學實踐的機會，能夠使學生在學習新知識的同時，激發起求知的慾望，在尋求解決問題的辦法的過程中獲得自信和成功的體驗，於不知不覺中改善了他們的思維品質，提高了數學思維能力。

高中數學教學設計5

重點難點教學：

1.正確理解映射的概念;

2.函數相等的兩個條件;

3.求函數的定義域和值域。

教學過程：

1.使學生熟練掌握函數的概念和映射的定義;

2.使學生能夠根據已知條件求出函數的定義域和值域; 3.使學生掌握函數的三種表示方法。

教學內容：

1.函數的定義

設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合A中的`任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數fx和它對應，那麼稱:fAB?爲從集合A到集合B的一個函數(function)，記作：,yf A其中，x叫自變量，x的取值範圍A叫作定義域(domain)，與x的值對應的y值叫函數值，函數值的集合{|}f A?叫值域(range)。顯然，值域是集合B的子集。

注意：

① “y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;

②函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x.

2.構成函數的三要素定義域、對應關係和值域。

3、映射的定義

設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f:A→B爲從集合A到集合B的一個映射。

4.區間及寫法：

設a、b是兩個實數，且a

(1)滿足不等式axb??的實數x的集合叫做閉區間，表示爲[a,b];

(2)滿足不等式axb??的實數x的集合叫做開區間，表示爲(a,b);

5.函數的三種表示方法

①解析法

②列表法

③圖像法

高中數學教學設計6

教學目標

1.明確等差數列的定義.

2.掌握等差數列的通項公式，會解決知道中的三個，求另外一個的問題

3.培養學生觀察、歸納能力.

教學重點

1. 等差數列的概念;

2. 等差數列的通項公式

教學難點

等差數列“等差”特點的理解、把握和應用

教具準備

投影片1張

教學過程

(I)複習回顧

師：上兩節課我們共同學習了數列的定義及給出數列的兩種方法通項公式和遞推公式。這兩個公式從不同的角度反映數列的.特點，下面看一些例子。(放投影片)

(Ⅱ)講授新課

師：看這些數列有什麼共同的特點?

1，2，3，4，5，6; ①

10，8，6，4，2，…; ②

生：積極思考，找上述數列共同特點。

對於數列①(1≤n≤6);(2≤n≤6)

對於數列②-2n(n≥1)(n≥2)

對於數列③(n≥1)(n≥2)

共同特點：從第2項起，第一項與它的前一項的差都等於同一個常數。

師：也就是說，這些數列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點。具有這種特點的數列，我們把它叫做等差數。

一、定義：

等差數列：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與空的前一項的差等於同一個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3個數列都是等差數列，它們的公差依次是1，-2，。

二、等差數列的通項公式

師：等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關係而得。若一等差數列的首項是，公差是d，則據其定義可得：

若將這n-1個等式相加，則可得：

即：即：即：……

由此可得：師：看來，若已知一數列爲等差數列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。

如數列①(1≤n≤6)

數列②：(n≥1)

數列③：(n≥1)

由上述關係還可得：即：則：=如：三、例題講解

例1：(1)求等差數列8，5，2…的第20項

(2)-401是不是等差數列-5，-9，-13…的項?如果是，是第幾項?

解：(1)由n=20，得(2)由得數列通項公式爲：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是這個數列的第100項。

(Ⅲ)課堂練習

生：(口答)課本P118練習3

(書面練習)課本P117練習1

師：組織學生自評練習(同桌討論)

(Ⅳ)課時小結

師：本節主要內容爲：①等差數列定義。

即(n≥2)

②等差數列通項公式 (n≥1)

推導出公式：(V)課後作業

一、課本P118習題3.2 1，2

二、1.預習內容：課本P116例2P117例4

2.預習提綱：

①如何應用等差數列的定義及通項公式解決一些相關問題?

②等差數列有哪些性質?

高中數學教學設計7

一、教學目標

1、在國中學過原命題、逆命題知識的基礎上，初步理解四種命題。

2、給一個比較簡單的命題（原命題），可以寫出它的逆命題、否命題和逆否命題。

3、通過對四種命題之間關係的學習，培養學生邏輯推理能力

4、初步培養學生反證法的數學思維。

二、教學分析

重點：四種命題；難點：四種命題的關係

1、本小節首先從國中數學的命題知識，給出四種命題的概念，接着，講述四種命題的關係，最後，在國中的基礎上，結合四種命題的知識，進一步講解反證法。

2、教學時，要注意控制教學要求。本小節的內容，只涉及比較簡單的命題，不研究含有邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的命題的逆命題、否命題和逆否命題，

３、“若p則q”形式的命題，也是一種複合命題，並且，其中的p與q，可以是命題也可以是開語句，例如，命題“若，則x，y全爲0”，其中的p與q，就是開語句。對學生，只要求能分清命題“若p則q”中的條件與結論就可以了，不必考慮p與q是命題，還是開語句。

三、教學手段和方法（演示教學法和循序漸進導入法）

1、以故事形式入題

2、多媒體演示

四、教學過程

（一）引入：一個生活中有趣的與命題有關的笑話：某人要請甲乙丙丁吃飯，時間到了，只有甲乙丙三人按時赴約。丁卻打電話說“有事不能參加”主人聽了隨口說了句“該來的沒來”甲聽了臉色一沉，一聲不吭的走了，主人愣了一下又說了一句“哎，不該走的走了”乙聽了大怒，拂袖即去。主人這時還沒意識到又順口說了一句：“俺說的又不是你”。這時丙怒火中燒不辭而別。四個客人沒來的沒來，來的又走了。主人請客不成還得罪了三家。大家肯定都覺得這個人不會說話，但是你想過這裏面所蘊涵的數學思想嗎？通過這節課的學習我們就能揭開它的廬山真面，學生的興奮點被緊緊抓住，躍躍欲試！

設計意圖：創設情景，激發學生學習興趣

（二）複習提問：

1、命題“同位角相等，兩直線平行”的條件與結論各是什麼？

2、把“同位角相等，兩直線平行”看作原命題，它的逆命題是什麼？

3、原命題真，逆命題一定真嗎？

“同位角相等，兩直線平行”這個原命題真，逆命題也真、但“正方形的四條邊相等”的原命題真，逆命題就不真，所以原命題真，逆命題不一定真、

學生活動：

口答：

（1）若同位角相等，則兩直線平行；

（2）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等、

設計意圖：通過複習舊知識，打下學習否命題、逆否命題的基礎、

（三）新課講解：

1、命題“同位角相等，兩直線平行”的條件是“同位角相等”，結論是“兩直線平行”；如果把“同位角相等，兩直線平行”看作原命題，它的逆命題就是“兩直線平行，同位角相等”。也就是說，把原命題的結論作爲條件，條件作爲結論，得到的命題就叫做原命題的逆命題。

2、把命題“同位角相等，兩直線平行”的條件與結論同時否定，就得到新命題“同位角不相等，兩直線不平行”，這個新命題就叫做原命題的否命題。

3、把命題“同位角相等，兩直線平行”的條件與結論互相交換並同時否定，就得到新命題“兩直線不平行，同位角不相等”，這個新命題就叫做原命題的逆否命題。

（四）組織討論：

讓學生歸納什麼是否命題，什麼是逆否命題。

例1及例2

（五）課堂探究：“兩條直線不平行，則同位角不相等”是否真？“若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形”是否真？若原命題真，逆否命題是否也真？

學生活動：

討論後回答

這兩個逆否命題都真、

原命題真，逆否命題也真

引導學生討論原命題的真假與其他三種命題的真

假有什麼關係？舉例加以說明，同學們踊躍發言。

（六）課堂小結：

1、一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結論，用￢p和￢q分別表示p和q否定時，四種命題的形式就是：

原命題若p則q；

逆命題若q則p；（交換原命題的條件和結論）

否命題，若￢p則￢q；（同時否定原命題的條件和結論）

逆否命題若￢q則￢p。（交換原命題的`條件和結論，並且同時否定）

2、四種命題的關係

（1）、原命題爲真，它的逆命題不一定爲真、

（2）、原命題爲真，它的否命題不一定爲真、

（3）、原命題爲真，它的逆否命題一定爲真

（七）回扣引入

分析引入中的笑話，先討論，後總結：現在我們來分析一下主人說的四句話：

第一句：“該來的沒來”

其逆否命題是“不該來的來了”，甲認爲自己是不該來的，所以甲走了。

第二句：“不該走的走了”，其逆否命題爲“該走的沒走”，乙認爲自己該走，所以乙也走了。

第三句：“俺說的不是你（指乙）”其值爲真其非命題：“俺說的是你”爲假，則說的是他（指丙）爲真。所以，丙認爲說的是自己，所以丙也走了。

同學們，生活中處處是數學，期待我們善於發現的眼睛

五、作業

1、設原命題是“若

斷它們的真假、，則”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，並分別判

2、設原命題是“當時，若，則”，寫出它的逆命題、否定命與逆否命題，並分別判斷它們的真假、

高中數學教學設計8

一、概述

教材內容:等比數列的概念和通項公式的推導及簡單應用教材難點：靈活應用等比數列及通項公式解決一般問題教材重點：等比數列的概念和通項公式

二、教學目標分析

1. 知識目標

1）

2）掌握等比數列的定義理解等比數列的通項公式及其推導

2．能力目標

1）學會通過實例歸納概念

2）通過學習等比數列的通項公式及其推導學會歸納假設

3）提高數學建模的'能力

3、情感目標：

1）充分感受數列是反映現實生活的模型

2）體會數學是來源於現實生活並應用於現實生活

3）數學是豐富多彩的而不是枯燥無味的

三、教學對象及學習需要分析

1、教學對象分析：

1）高中生已經有一定的學習能力，對各方面的知識有一定的基礎，理解能力較強。並掌握了函數及個別特殊函數的性質及圖像，如指數函數。之前也剛學習了等差數列，在學習這一章節時可聯繫以前所學的進行引導教學。

2）對歸納假設較弱，應加強這方面教學

2、學習需要分析：

四. 教學策略選擇與設計

1.課前複習

1）複習等差數列的概念及通向公式

2）複習指數函數及其圖像和性質

2．情景導入

高中數學教學設計9

一、課題：

人教版全日制普通高級中學教科書數學第一冊（上）《2.7對數》

二、指導思想與理論依據：

《數學課程標準》指出：高中數學課程應講清一些基本內容的實際背景和應用價值，開展“數學建模”的學習活動，把數學的應用自然地融合在平常的教學中。任何一個數學概念的引入，總有它的現實或數學理論發展的需要。都應強調它的現實背景、數學理論發展背景或數學發展歷史上的背景，這樣才能使教學內容顯得自然和親切，讓學生感到知識的發展水到渠成而不是強加於人，從而有利於學生認識數學內容的實際背景和應用的價值。在教學設計時，既要關注學生在數學情感態度和科學價值觀方面的發展，也要幫助學生理解和掌握數學基礎知識和基本技能，發展能力。在課程實施中，應結合教學內容介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，用以反映數學在人類社會進步、人類文化建設中的作用，同時反映社會發展對數學發展的促進作用。

三、教材分析：

本節內容主要學習對數的概念及其對數式與指數式的互化。它屬於函數領域的知識。而對數的概念是對數函數部分教學中的核心概念之一，而函數的思想方法貫穿在高中數學教學的始終。通過對數的學習，可以解決數學中知道底數和冪值求指數的問題，以及對數函數的相關問題。

四、學情分析：

在ab=N（a＞0，a≠1）中，知道底數和指數可以求冪值，那麼知道底數和冪值如何求求指數，從學生認知的角度自然就產生了這樣的需要。因此，在前面學習指數的基礎上學習對數的概念是水到渠成的事。

五、教學目標：

(一)教學知識點：

1.對數的概念。

2.對數式與指數式的互化。

(二)能力目標：

1.理解對數的概念。

2.能夠進行對數式與指數式的互化。

(三)德育滲透目標：

1.認識事物之間的相互聯繫與相互轉化，

2.用聯繫的觀點看問題。

六、教學重點與難點：

重點是對數定義，難點是對數概念的理解。

七、教學方法：

講練結合法八、教學流程：

問題情景（複習引入）——實例分析、形成概念（導入新課）——深刻認識概念（對數式與指數式的互化）——變式分析、深化認識（對數的性質、對數恆等式，介紹自然對數及常用對數）——練習小結、形成反思（例題，小結）

八、教學反思：

對本節內容在進行教學設計之前，本人反覆閱讀了課程標準和教材，教材內容的處理收到了一定的`預期效果，尤其是練習的處理，充分發揮了學生的主體作用，也提高了學生主體的合作意識，達到了設計中所預想的目標。然而還有一些缺憾：對本節內容，難度不高，本人認爲，教師的干預（講解）還是太多。在以後的教學中，對於一些較簡單的內容，應放手讓學生多一些探究與合作。隨着教育改革的深化，教學理念、教學模式、教學內容等教學因素，都在不斷更新，作爲數學教師要更新教學觀念，從學生的全面發展來設計課堂教學，關注學生個性和潛能的發展，使教學過程更加切合《課程標準》的要求。

對於本教學設計，時間倉促，不足之處在所難免，期待與各位同仁交流。

高中數學教學設計10

函數的奇偶性是函數的重要性質，是對函數概念的深化。它把自變量取相反數時函數值間的關係定量地聯繫在一起，反映在圖像上爲：偶函數的圖像關於y軸對稱，奇函數的圖像關於座標原點成中心對稱。這樣，就從數、形兩個角度對函數的奇偶性進行了定量和定性的分析。

教材首先通過對具體函數的圖像及函數值對應表歸納和抽象，概括出了函數奇偶性的準確定義。然後，爲深化對概念的理解，舉出了奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數的函數和非奇非偶函數的實例。最後，爲加強前後聯繫，從各個角度研究函數的性質，講清了奇偶性和單調性的聯繫。這節課的重點是函數奇偶性的定義，難點是根據定義判斷函數的奇偶性。

教學目標

1、通過具體函數，讓學生經歷奇函數、偶函數定義的討論，體驗數學概念的建立過程，培養其抽象的概括能力。

2、理解、掌握函數奇偶性的定義，奇函數和偶函數圖像的特徵，並能初步應用定義判斷一些簡單函數的奇偶性。

3、在經歷概念形成的過程中，培養學生歸納、抽象概括能力，體驗數學既是抽象的又是具體的。

任務分析

這節內容學生在國中雖沒學過，但已經學習過具有奇偶性的具體的函數：正比例函數y=kx，反比例函數，k≠0，二次函數y=ax，a≠0，故可在此基礎上，引入奇、偶函數的概念，以便於學生理解。在引入概念時始終結合具體函數的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學生的'認知規律，同時爲闡述奇、偶函數的幾何特徵埋下了伏筆。

對於概念可從代數特徵與幾何特徵兩個角度去分析，讓學生理解：奇函數、偶函數的定義域是關於原點對稱的非空數集；對於在有定義的奇函數y=fx，一定有f0=0既是奇函數，又是偶函數的函數有fx=0，x∈R在此基礎上，讓學生了解：奇函數、偶函數的矛盾概念———非奇非偶函數。關於單調性與奇偶性關係，引導學生拓展延伸，可以取得理想效果。

教學設計

一、問題情景

1、觀察如下兩圖，思考並討論以下問題：

（1）這兩個函數圖像有什麼共同特徵？

（2）相應的兩個函數值對應表是如何體現這些特徵的？

可以看到兩個函數的圖像都關於y軸對稱。

從函數值對應表可以看到，當自變量x取一對相反數時，相應的兩個函數值相同。

對於函數fx=x，有f3=9=f3，f2=4=f2，f1=1=f1。事實上，對於R內任意的一個x，都有fx=x2=x2=fx。此時，稱函數y=x2爲偶函數。

2、觀察函數fx=x和fx= 的圖像，並完成下面的兩個函數值對應表，然後說出這兩個函數有什麼共同特徵。

可以看到兩個函數的圖像都關於原點對稱。函數圖像的這個特徵，反映在解析式上就是：當自變量x取一對相反數時，相應的函數值fx也是一對相反數，即對任一x∈R都有fx=fx。此時，稱函數y=fx爲奇函數。

二、建立模型

由上面的分析討論引導學生建立奇函數、偶函數的定義

1奇、偶函數的定義

如果對於函數fx的定義域內任意一個x，都有fx=fx，那麼函數fx就叫作奇函數。如果對於函數fx的定義域內任意一個x，都有fx=fx，那麼函數fx就叫作偶函數。

2、提出問題，組織學生討論

（1）如果定義在R上的函數fx滿足f2=f2，那麼fx是偶函數嗎？ fx不一定是偶函數

（2）奇、偶函數的圖像有什麼特徵？

（奇、偶函數的圖像分別關於原點、y軸對稱）

3奇、偶函數的定義域有什麼特徵？（奇、偶函數的定義域關於原點對稱）

三、解釋應用

[例題]

1、判斷下列函數的奇偶性。

注：①規範解題格式；

②對於5要注意定義域x∈1，1]。

2、已知：定義在R上的函數fx是奇函數，當x>0時，fx=x1+x，求fx的表達式。

解：1任取x<0，則x>0，∴fx=x1x，

而fx是奇函數，∴fx=fx。∴fx=x1x。

（2）當x=0時，f0=f0，∴f0=f0，故f0=0

3、已知：函數f（x是偶函數，且在∞，0上是減函數，判斷fx在0，+∞）上是增函數，還是減函數，並證明你的結論。

解：先結合圖像特徵：偶函數的圖像關於y軸對稱，猜想f（x在0，+∞）上是增函數，

證明如下：

任取x1>x2>0，則x1

∵fx在∞，0上是減函數，∴fx1>fx2。又fx是偶函數，∴fx1>fx2。

∴f（x在0，+∞）上是增函數。

思考：奇函數或偶函數在關於原點對稱的兩個區間上的單調性有何關係？

[練習]

1、已知：函數fx是奇函數，在[a，b]上是增函數b>a>0，問fx在[b，a]上的單調性如何。

2fx=x3|x|的大致圖像可能是

3、函數fx=ax2+bx+c，a，b，c∈R，當a，b，c滿足什麼條件時，1函數fx是偶函數。2函數fx是奇函數。 4設fx，gx分別是R上的奇函數和偶函數，並且fx+gx=xx+1，求fx，gx的解析式。

四、拓展延伸

1、有既是奇函數，又是偶函數的函數嗎？若有，有多少個？ 2設fx，gx分別是R上的奇函數，偶函數，試研究： 1Fx=fx·gx的奇偶性。 2Gx=|fx|+gx的奇偶性。

3、已知a∈R，fx=a ，試確定a的值，使fx是奇函數。

4、一個定義在R上的函數，是否都可以表示爲一個奇函數與一個偶函數的和的形式？

高中數學教學設計11

一、教材分析

數學歸納法是一種重要的數學證明方法，在高中數學內容中佔有重要的地位，其中體現的數學思想方法對學生進一步學習數學、領悟數學思想至關重要。本課是數學歸納法的第一節課，前面學生對等差數列、數列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結論的推理方法，即不完全歸納法，這是研究數學問題，猜想或發現數學規律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結論不一定正確，這種推理方法不能作爲一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎上，必須進一步學習嚴謹的科學的論證方法——數學歸納法，這是促進學生從有限思維發展到無限思維的一個重要環節，同時本節內容又是培養學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體驗數學內在美的好素材。

二、教學目標

學生通過數列等相關知識的學習，已經基本掌握了不完全歸納法，已經由一定的觀察、歸納、猜想能力。

根據教學內容特點和教學大綱，結合學生實際而制定以下教學目標：

1、知識目標

（1）瞭解由有限多個特殊事例得出的一般結論不一定正確。

（2）初步理解數學歸納法原理。

（3）能以遞推思想爲指導，理解數學歸納法證明數學命題的兩個步驟一個結論。

（4）會用數學歸納法證明與正整數相關的簡單的恆等式。

2、能力目標

（1）通過對數學歸納法的學習，使學生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力。

（2）在學習中培養學生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質以及發現問題、提出問題的意識和數學交流的能力。

3、情感目標

（1）通過對數學歸納法原理的探究，親歷知識的構建過程，領悟其中所蘊含的數學思想和辨正唯物主義觀點。

（2）體驗探索中挫折的艱辛和成功的.快樂，感悟數學的內在美，激發學生學習熱情，使學生喜歡數學。

（3）學生通過置疑與探究，初步形成正確的數學觀，創新意識和嚴謹的科學精神。

三、教學重點與難點

1、教學重點

藉助具體實例瞭解數學歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數有關的簡單恆等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恆等變換的運用。

2、教學難點

（1）如何理解數學歸納法證題的嚴密性和有效性。

（2）遞推步驟中如何利用歸納假設，即如何利用假設證明當時結論正確。

四、教學方法

本節課採用交往性教學方法，以學生及其發展爲本，一切從學生出發。在教師組織啓發下，通過創設問題情境，激發學習慾望。師生之間、學生之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，並類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數學歸納法的原理、步驟；培養學生歸納、類比推理的能力，進而應用數學歸納法，證明一些與正整數n有關的簡單數學命題；提高學生的應用能力，分析問題、解決問題的能力。既重視教師的組織引導，又強調學生的主體性、主動性、交流性和合作性。

五、教學過程

（一）創設情境，提出問題

情境一：根據觀察某學校第一個到校的女同學，第二個到校的也是女同學，第三個到校的還是女同學，於是得出：這所學校的學生全部是女同學。

情境二：平面內三角形內角和是，四邊形內角和是，五邊形內角和是，於是得出：凸邊形內角和是。

情境三：數列的通項公式爲，可以求得，，，，於是猜想出數列的通項公式爲。

結論：運用有限多個特殊事例得出的一般性結論，即不完全歸納法不一定正確。因此它不

能作爲一種論證的方法。

提出問題：如何尋找一個科學有效的方法證明結論的正確性呢？我們本節課所要學習的數

學歸納法就是解決這一問題的方法之一。

（二）實驗演示，探索解決問題的方法

1、幾何畫板演示動畫多米諾骨牌遊戲，師生共同探討：要讓這些骨牌全部倒下，必

須具備那些條件呢？（學生可以討論，加以教師點撥）

①第一塊骨牌必須倒下。

②兩塊連續的骨牌，當前一塊倒下，後面一塊必須倒下。

（啓發學生轉換成數學符號語言：當第塊倒下，則第塊必須倒下）

教師總結：數學歸納法的原理就如同多米諾骨牌一樣。

2、學生類比多米諾骨牌原理，探究出證明有關正整數命題的方法，從而導出本課的重心：數學歸納法的原理及其證明的兩個步驟。（給學生思考的時間，教師提問，學生回答，教師補充完善，對學生的回答給予肯定和鼓勵）

數學歸納法公理：（板書）

（1）（遞推基礎）當取第一個值（例如等）結論正確；

（2）（遞推歸納）假設當時結論正確；（歸納假設）

證明當時結論也正確。（歸納證明）

那麼，命題對於從開始的所有正整數都成立。

教師總結：步驟（1）是數學歸納法的基礎，步驟（2）建立了遞推過程，兩者缺一不

可，這就是數學歸納法。

（三）遷移應用，理解昇華

例1：用數學歸納法證明：等差數列中，爲首項，爲公差，則通項公式爲.①

選題意圖：讓學生注意：①數學歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用於與正整數有關的問題；

②兩個步驟，一個結論缺一不可，否則結論不成立；

③在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設，必須進行恆等變換。

此時學生心中已有一個初步的證明模式，教師應該規範板書，給學生提供一個示範。

證明：（1）當時，等式左邊，等式右邊，等式①成立.

（2）假設當時等式①成立，即有

那麼，當時，有所以當時等式①也成立。

根據（1）和（2），可知對任何，等式①都成立。

例2：用數學歸納法證明：當時

選題意圖：通過師生共同活動，使學生進一步熟悉數學歸納法證題的兩個步驟和一個結論。

例3：用數學歸納法證明：當時

選題意圖：①進一步讓學生理解數學歸納法的嚴密性和合理性，從而從感性認識上升爲理性認識；

②掌握從到時等式左邊的變化情況，合理的進行添項、拆項、合併項等。

（四）反饋練習，鞏固提高

課堂練習：用數學歸納法證明：當時

（練習讓學生獨立完成，上黑板板演，要求書寫工整，步驟完整，表述清楚，如果發現學

生證明過程中的錯誤，教師及時糾正、剖析，同時對學生板演好的方面予以肯定和鼓勵。）

教師總結：利用數學歸納法證明和正整數相關的命題時，要注意以下三句話：遞推基礎不

可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。

（五）反思總結

學生思考後，教師提問，讓同學相互補充完善，教師最後總結，這一環節可以培養學

生抽象、歸納、概括、總結的能力，同時教師也可以及時瞭解學生的掌握情況，以便彌補和及時調整下節課的教學方向。

小結：（1）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，

而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數學歸納法進行嚴格證明；

（2）數學歸納法作爲一種證明方法，用於證明一些與正整數n有關數學命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過程必須是兩步，最後還有結論，缺一不可；

（3）遞推歸納時從到，必須用到歸納假設，並進行適當的恆等變換。

（六）作業佈置

選修2－2習題2.3第1題第2題

高中數學教學設計12

一、探究式教學模式概述

1、探究式教學模式的含義。探究式教學就是學生在教師引導下，像科學家發現真理那樣以類似科學探究的方式來展開學習活動，通過自己大腦的獨立思考和探究，去弄清事物發展變化的起因和內在聯繫，從中探索出知識規律的教學模式。它的基本特徵是教師不把跟教學內容有關的內容和認知策略直接告訴學生，而是創造一種適宜的認知和合作環境，讓學生通過探究形成認知策略，從而對教學目標進行一種全方位的學習，實現學生從被動學習到主動學習，培養學生的科學探究能力、創新意識和科學精神。可見，探究式教學主張把學習知識的過程和探究知識的過程統一起來，充分發揮學生學習的自主性和參與性。

2、堂探究式教學的實質。課堂探究式教學的實質是使學生通過類似科學家科學探究的過程來理解科學探究概念和科學規律的本質，並培養學生的科學探究能力。具體地說，它包括兩個相互聯繫的方面：一是有一個以“學”爲中心的探究性學習環境。在這個環境中有豐富的教學資源，而且這些資源是圍繞某個知識主題來展開的。這個學習環境具有民主和諧的課堂氣氛，它使學生很少感到有壓力，能自主尋找所需要的信息，提出自己的設想，並以自己的方式檢驗其設想。二是教師可以給學生提供必要的幫助和指導，使學生在研究中能明確方向。這說明探究式教學的本質特徵是不直接把與教學目標有關的概念和認知策略告訴學生，取而代之的是教師創造出一種智力交流和社會交往的環境，讓學生通過探究自己發現規律。

3、探究式教學模式的特徵。

（1）問題性。問題性是探究式教學模式的關鍵。能否提出對學生具有挑戰性和吸引力的問題，使學生產生問題意識，是探究教學成功與否的關鍵所在。恰當的問題會激起學生強烈的學習願望，並引發學生的求異思維和創造思維。現代教育心理學研究提出：“學生的學習過程和科學家的探索過程在本質上是一樣的，都是一個發現問題、分析問題、解決問題的過程。”所以培養學生的問題意識是探究式教學的重要使命。

（2）過程性。過程性是探究式教學模式的重點。愛因斯坦說：“結論總以完成的形式出現，讀者體會不到探索和發現的喜悅，感覺不到思想形成的生動過程，也就很難達到清楚、全面理解的境界。”探究式教學模式正是考慮到這些人的認知特點來組織教學的，它強調學生探索知識的經歷和獲得新知識的親身感悟。

（3）開放性。開放性是探究式教學模式的難點。探究式教學模式總是綜合合作學習、發現學習、自主學習等學習方式的長處，培養學生良好的學習態度和學習方法，提倡和發展多樣化的學習方式。探究式教學模式要面對大量開放性的問題，教學資源和探究的結論面對生活、生產和科研是開放的，這一切都爲教師的教與學生的學帶來了機遇與挑戰。

二、教學設計案例

1、教學內容：數字排列中3、9的探究式教學。

2、教學目標。

（1）知識與技能：掌握數字排列的知識，能靈活運用所學知識。

（2）過程與方法：在探究過程中掌握分析問題的方法和邏輯推理的方法。

（3）情感態度與價值觀：培養學生觀察、分析、推理、歸納等綜合能力，讓學生體會到認識客觀規律的一般過程。

3、教學方法：談話探究法，討論探究法。

4、教學過程。

（1）創設情境。教師：在高中數學第十章的教學中，有關數字排列的問題佔有重要位置。我們曾經做過的有關數字排列的題目，如“由若干個數字排列成偶數”、“能被5整除的數”等問題，只要使排列成的數的個位數字爲偶數，則這個數就是偶數，當排列成的'數的個位數字爲0或5時，則這個數就能被5整除。那麼能被3整除的數，能被9整除的數有何特點？

（2）提出問題。

問題1：在用1、2、3、4、5、6六個數字組成沒有重複數字的四位數中，是9的倍數的共有（）

A、36個B、18個C、12個D、24個

問題2：在用0、1、2、3、4、5這六個數字組成沒有重複數字的自然數中，有多少個能被6整除的五位數？

（3）探究思考。點評：乍一看問題1，對於由若干個數字排列成9的倍數的問題，如：81、72、63、54、45、36、27、18、9這些能夠被9整除的數的個位數字依次是1、2、3、4、5、6、7、8、9。因此，要考察能被9整除的數，不能只考慮個位數字了。於是，需另闢蹊徑，探究能被9整除的數的特點，尋求解決問題的途徑。

教師：同學們觀察81、72、63、54、45、36、27、18、9這些數，甚至再寫出幾個能被9整除的數，如981、1872等，看看它們有何特點？

學生：它們都滿足“各位數字之和能被9整除”。

教師：此結論的正確性如何？

學生：老師，我們證明此結論的正確性，好嗎？

教師：好。

學生：證明：不妨以n是一個四位數爲例證之。

設n=1000a+100b+10c+d（a，b，c，d∈N）依條件，有a+b+c+d=9m（m∈N）

則n=1000a+100b+10c+d

=（999a+a）+（99b+b）+（9c+c）+d

=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）

=9（111a+11b+c）+9m

=9（111a+11b+c+m）

∵ a，b，c，m∈N

∴ 111a+11b+c+m∈N

所以n能被9整除

同理可證定理的後半部分。

教師：看來上述結論正確。所以得到如下定理。

定理：如果一個自然數n各個數位上的數字之和能被9整除，那麼這個數n就能夠被9整除；如果一個自然數n各個數位上的數字之和能被3整除，那麼這個數n就能夠被3整除。

教師：利用該定理可解決“能被3、9整除”的數字排列問題，請同學們先解答問題1。

學生：嘗試1+4+5+6=16，1+3+4+5=13，2+3+4+5=14，2+4+5+6=17，1+2+3+4=10，1+2+5+6=14。

教師：啓發學生觀察這些數字有何特點？提問學生。

學生：可以看出只要從1、2、3、4、5、6這六個數中，選取的四個數字中含1（或2），或者同時含1、2，選取的四個數字之和都不是9的倍數。

教師：請學生們繼續嘗試選取其他數字試一試。

學生：3+4+5+6=18是9的倍數。

教師：因此用1、2、3、4、5、6六個數字組成沒有重複數字的四位數中，是9的倍數的數，就是由3、4、5、6進行全排列所得，共有=24（個）。

故應選D。

（4）學以致用。

問題2：在用0、1、2、3、4、5這六個數字組成沒有重複數字的自然數中，有多少個能被6整除的五位數？

教師：從上面的定理知：如果一個自然數n各個數位上的數字之和能被3整除，那麼這個數n就能夠被3整除。同學們對問題2有何想法？

學生討論：

學生1：被6整除的五位數必須既能被2整除，又能被3整除，故能被6整除的五位數，即爲各位數字之和能被3整除的五位偶數。

學生2：由於1+2+3+4+5=15，能被3整除，所以選取的5個數字可分兩類：一類是5個數字中無0，另一類是5個數字中有0（但不含3）。

學生3：第一類：5個數字中無0的五位偶數有。

第二類：5個數字中含有0不含3的五位偶數有兩類，第一，0在個位有個；第二，個位是2或4有，所以共有+ 。

學生4：由分類計數原理得：能被6整除的無重複數字的五位數共有+ + =108（個）。

（5）概括強化。

重點：瞭解數字排列問題的特點，理解掌握數字排列中3、9問題的規律。

難點：數字排列知識的靈活應用。

關鍵：證明的思路以及定理的得出。

新學知識與已知知識之間的區別和聯繫：已知知識“由若干個數字排列成偶數”、“能被5整除的數”等問題，只要使排列成的數的個位數字爲偶數，則這個數就是偶數，當排列成的數的個位數字爲0或5時，則這個數就能被5整除”。新學知識“如果一個自然數n各個數位上的數字之和能被9整除，那麼這個數n就能夠被9整除；如果一個自然數n各個數位上的數字之和能被3整除，那麼這個數n就能夠被3整除。都是數字排列知識，要學會靈活應用。

（6）作業。請同學們自擬練習題，以求達到熟練解決此類問題的目的。

總之，探究式教學模式是針對傳統教學的種種弊端提出來的，新課程改革強調改變課程過於注重知識的傳授和過於強調接受式學習的狀況，倡導學生主動參與樂於探究、勤於動手，讓學生經歷科學探究過程，學習科學研究方法，並強調獲得知識、技能的過程成爲學會學習和形成價值觀的過程，以培養學生的探究精神、創新意識和實踐能力。

高中數學教學設計13

一、教學內容分析:

本節教材選自人教a版數學必修②第二章第一節課，本節內容在立幾學習中起着承上啓下的作用，具有重要的意義與地位。本節課是在前面已學空間點、線、面位置關係的基礎作爲學習的出發點，結合有關的實物模型，通過直觀感知、操作確認(合情推理，不要求證明)歸納出直線與平面平行的判定定理。本節課的學習對培養學生空間感與邏輯推理能力起到重要作用，特別是對線線平行、面面平行的判定的學習作用重大。

二、學生學習情況分析：

任教的學生在年段屬中上程度，學生學習興趣較高，但學習立幾所具備的語言表達及空間感與空間想象能力相對不足，學習方面有一定困難。

三、設計思想

本節課的設計遵循從具體到抽象的原則，適當運用多媒體輔助教學手段，藉助實物模型，通過直觀感知，操作確認，合情推理，歸納出直線與平面平行的判定定理，將合情推理與演繹推理有機結合，讓學生在觀察分析、自主探索、合作交流的過程中，揭示直線與平面平行的判定、理解數學的概念，領會數學的思想方法，養成積極主動、勇於探索、自主學習的學習方式，發展學生的空間觀念和空間想象力，提高學生的數學邏輯思維能力。

四、教學目標

通過直觀感知——觀察——操作確認的認識方法理解並掌握直線與平面平行的判定定理，掌握直線與平面平行的畫法並能準確使用數學符號語言、文字語言表述判定定理。培養學生觀察、探究、發現的能力和空間想象能力、邏輯思維能力。讓學生在觀察、探究、發現中學習，在自主合作、交流中學習，體驗學習的樂趣，增強自信心，樹立積極的學習態度，提高學習的自我效能感。

五、教學重點與難點

重點是判定定理的引入與理解，難點是判定定理的應用及立幾空間感、空間觀念的形成與邏輯思維能力的培養。

六、教學過程設計

(一)知識準備、新課引入

提問1：根據公共點的情況，空間中直線a和平面?有哪幾種位置關係?並完成下表：(多媒體幻燈片演示) a??

提問2：根據直線與平面平行的定義(沒有公共點)來判定直線與平面平行你認爲方便嗎?談談你的看法，並指出是否有別的判定途徑。

[設計意圖：通過提問，學生複習並歸納空間直線與平面位置關係引入本節課題，併爲探尋直線與平面平行判定定理作好準備。]

(二)判定定理的探求過程

1、直觀感知

提問：根據同學們日常生活的觀察，你們能感知到並舉出直線與平面平行的具體事例嗎?

生1：例舉日光燈與天花板，樹立的電線杆與牆面。

生2：門轉動到離開門框的任何位置時，門的邊緣線始終與門框所在的平面平行(由學生到教室門前作演示)，然後教師用多媒體動畫演示。

[學情預設：此處的預設與生成應當是很自然的，但老師要預見到可能出現的情況如電線杆與牆面可能共面的情形及門要離開門框的位置等情形。]

2、動手實踐

教師取出預先準備好的直角梯形泡沫板演示：當把互相平行的一邊放在講臺桌面上並轉動，觀察另一邊與桌面的位置給人以平行的感覺，而當把直角腰放在桌面上並轉動，觀察另一邊與桌面給人的印象就不平行。又如老師直立講臺，則大家會感覺到老師(視爲線)與四周牆面平行，如老師向前或後傾斜則感覺老師(視爲線)與左、右牆面平行，如老師向左、右傾斜，則感覺老師(視爲線)與前、後牆面平行(老師也可用事先準備的木條放在講臺桌上作上述情形的演示)。

[設計意圖：設置這樣動手實踐的情境，是爲了讓學生更清楚地看到線面平行與否的關鍵因素是什麼，使學生學在情境中，思在情理中，感悟在內心中，學自己身邊的數學，領悟空間觀念與空間圖形性質。]

3、探究思考

(1)上述演示的直線與平面位置關係爲何有如此的不同?關鍵是什麼因素起了作用呢?通過觀察感知發現直線與平面平行，關鍵是三個要素：①平面外一條線②我們把直線與平面相交或平行的位置關係統稱爲直線在平面外，用符號表示爲平面內一條直線③這兩條直線平行

(2)如果平面外的直線a與平面?內的一條直線b平行，那麼直線a與平面?平行嗎?

4、歸納確認：(多媒體幻燈片演示)

直線和平面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線和這個平面平行。

簡單概括：(內外)線線平行?線面平行a符號表示：ba||? a||b??

溫馨提示：

作用：判定或證明線面平行。

關鍵：在平面內找(或作)出一條直線與面外的直線平行。

思想：空間問題轉化爲平面問題

(三)定理運用，問題探究(多媒體幻燈片演示)

1、想一想：

(1)判斷下列命題的真假?說明理由：

①如果一條直線不在平面內，則這條直線就與平面平行()

②過直線外一點可以作無數個平面與這條直線平行( )

③一直線上有二個點到平面的距離相等，則這條直線與平面平行( )

(2)若直線a與平面?內無數條直線平行，則a與?的位置關係是( ) a、a ||? b、a?? c、a ||?或a?? d、a?? [學情預設：設計這組問題目的是強調定理中三個條件的重要性，同時預設(1)中的③學生可能認爲正確的，這樣就無法達到老師的預設與生成的目的，這時教師要引導學生思考，讓學生想象的空間更廣闊些。此外教師可用預先準備好的羊毛針與泡沫板進行演示，讓羊毛針穿過泡沫板以舉不平行的反例，如果有的學生空間想象力強，能按老師的要求生成正確的結果則就由個別學生進行演示。]

2、作一作：

設a、b是二異面直線，則過a、b外一點p且與a、b都平行的平面存在嗎?若存在請畫出平面，不存在說明理由?

先由學生討論交流，教師提問，然後教師總結，並用準備好的羊毛針、鐵線、泡沫板等演示平面的形成過程，最後借多媒體展示作圖的動畫過程。

[設計意圖：這是一道動手操作的問題，不僅是爲了拓展加深對定理的認識，更重要的是培養學生空間感與思維的嚴謹性。]

3、證一證：

例1(見課本60頁例1)：已知空間四邊形abcd中，e、f分別是ab、ad的中點，求證：ef ||平面bcd。

變式一：空間四邊形abcd中，e、f、g、h分別是邊ab、bc、cd、da中點，連結ef、fg、gh、he、ac、bd請分別找出圖中滿足線面平行位置關係的所有情況。(共6組線面平行)變式二：在變式一的圖中如作pq?ef，使p點在線段ae上、q點在線段fc上，連結ph、qg，並繼續探究圖中所具有的線面平行位置關係?(在變式一的基礎上增加了4組線面平行)，並判斷四邊形efgh、pqgh分別是怎樣的四邊形，說明理由。

[設計意圖：設計二個變式訓練，目的是通過問題探究、討論，思辨，及時鞏固定理，運用定理，培養學生的識圖能力與邏輯推理能力。]例2：如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是棱bc與c1d1中點，求證：ef ||平面bdd1b1分析：根據判定定理必須在平

面bdd1b1內找(作)一條線與ef平行，聯想到中點問題找中點解決的方法，可以取bd或b1d1中點而證之。

思路一：取bd中點g連d1g、eg，可證d1gef爲平行四邊形。

思路二：取d1b1中點h連hb、hf，可證hfeb爲平行四邊形。

[知識鏈接：根據空間問題平面化的思想，因此把找空間平行直線問題轉化爲找平行四邊形或三角形中位線問題，這樣就自然想到了找中點。平行問題找中點解決是個好途徑好方法。這種思想方法是解決立幾論證平行問題，培養邏輯思維能力的重要思想方法]

4、練一練：

練習1：見課本6頁練習1、2

練習2：將兩個全等的正方形abcd和abef拼在一起，設m、n分別爲ac、bf中點，求證：mn ||平面bce。

變式：若將練習2中m、n改爲ac、bf分點且am = fn，試問結論仍成立嗎?試證之。

[設計意圖：設計這組練習，目的是爲了鞏固與深化定理的運用，特別是通過練習2及其變式的訓練，讓學生能在複雜的圖形中去識圖，去尋找分析問題、解決問題的途徑與方法，以達到逐步培養空間感與邏輯思維能力。]

(四)總結

先由學生口頭總結，然後教師歸納總結(由多媒體幻燈片展示)：

1、線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與這個平面平行。

2、定理的符號表示：ba||? a||b??簡述：(內外)線線平行則線面平行

3、定理運用的`關鍵是找(作)面內的線與面外的線平行，途徑有：取中點利用平行四邊形或三角形中位線性質等。

七、教學反思

本節“直線與平面平行的判定”是學生學習空間位置關係的判定與性質的第一節課，也是學生開始學習立幾演澤推理論述的思維方式方法，因此本節課學習對發展學生的空間觀念和邏輯思維能力是非常重要的。

本節課的設計遵循“直觀感知——操作確認——思辯論證”的認識過程，注重引導學生通過觀察、操作交流、討論、有條理的思考和推理等活動，從多角度認識直線和平面平行的判定方法，讓學生通過自主探索、合作交流，進一步認識和掌握空間圖形的性質，積累數學活動的經驗，發展合情推理、發展空間觀念與推理能力。

本節課的設計注重訓練學生準確表達數學符號語言、文字語言及圖形語言，加強各種語言的互譯。比如上課開始時的複習引入，讓學生用三種語言的表達，動手實踐、定理探求過程以及定理描述也注重三種語言的表達，對例題的講解與分析也注意指導學生三種語言的表達。

本節課對定理的探求與認識過程的設計始終貫徹直觀在先，感知在先，學自己身邊的數學，感知生活中包涵的數學現象與數學原理，體驗數學即生活的道理，比如讓學生舉生活中能感知線面平行的例子，學生會舉出日光燈與天花板，電線杆與牆面，轉動的門等等，同時老師的舉例也很貼進生活，如老師直立時與四周牆面平行，而向前、向後傾斜則只與左右牆面平行，而向左、右傾斜則與前後黑板面平行。然後引導學生從中抽象概括出定理。

高中數學教學設計14

一、問題導入，引發探究

師：我在旅遊時買回來一種磁性蛇蛋玩具（如圖），所謂生活處處皆學問嘛，我把它運動過程中的軸截面用圖形計算器做出了以下有趣的現象：

兩個全等的橢圓形卵，相互依偎旋轉（動畫）。你能通過所學解析幾何知識，構造出這種有趣的現象嗎？

二、實驗探究，交流發現

探究1：卵之由來——橢圓的形成

（1）單個定橢圓的形成

橢圓的定義：平面內到兩定點、的距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓。（即若平面內的動點到兩定點、的距離之和等於常數（大於），則點的軌跡爲以、爲焦點的橢圓。）

思考1：如何使爲定值？

（不妨將兩條線段的長度和轉化爲一條線段，即在線段的延長線上取點，使得，此時，爲定值則可轉化爲爲定值。）

思考2：若爲定值，則點的軌跡是什麼？定點與點軌跡的位置關係？

（以定點爲圓心，爲半徑的圓。由於>，則點在圓內。）

思考3：如何確定點的位置，使得，且？

（線段的中垂線與線段的交點爲點。）

揭示思路來源：（高中數學選修2—1P497）如圖，圓的半徑爲定長，是圓內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線l和半徑相交於點，當點在圓上運動時，點的軌跡是什麼？爲什麼？

（設圓的半徑爲，由橢圓定義，（常數），且，所以當點在圓周上運動時，點的軌跡是以爲焦點的橢圓。）

圖形計算器作圖驗證：以圓與定點所在直線爲軸，中垂線爲軸建立直角座標系，設圓半徑，，即圓，點，則點軌跡是以以爲焦點的橢圓，橢圓方程爲。

（2）單個動橢圓的形成

思考4：構造一種動橢圓的方式

（由於橢圓形狀不變，即離心率不變，而長軸長爲定值，則也要爲定值，因此可將圓內點取在圓的同心圓上，當點在圓上動時，即可得到動橢圓。）

圖形計算器作圖驗證：當圓內動點取在圓的同心圓上，運動點，即得到動橢圓。

（3）兩個橢圓的形成

觀察兩個橢圓相互依偎旋轉的幾個畫面，分析兩橢圓的位置關係。判斷兩個橢圓關於對稱軸對稱，且直線過兩橢圓公共點，所以直線爲兩橢圓的公切線。

因而找到公切線，作橢圓關於切線的對稱橢圓即可。

探究2：卵之所依——切線的判斷與證明

線段的垂直平分線與橢圓的位置關係

（1）利用圖形計算器中的“圖象分析”工具直觀判斷與橢圓的位置關係、設圓上動點，則線段的中垂線的方程爲，將動點的橫座標保存爲變量，縱座標保存爲變量，隨着點的改變，在Graphs中畫出相應的動直線、用圖形計算器中的“圖象分析”工具找出橢圓所在區域內的直線與橢圓的交點，拖動點，動態觀測交點個數的變化，發現無論點在何處，動直線與橢圓只有一個交點，因此判斷直線與橢圓相切，並可求出該切點的座標、也可以將橢圓方程與直線方程聯立，用“代數”工具中的solve（）求出方程組的解，從而判斷根的情況、

（2）證明橢圓與直線相切、

不妨設直線：，其中，，與橢圓方程聯立，得，因此

，

將，，代入上式，用“代數”工具中的expand（）化簡式子，得，所以橢圓與直線相切，切點爲、

（3）證明由任意圓上的動點和圓內一點確定的橢圓與線段中垂線均相切（反證法）

因爲橢圓是點的軌跡，而點是直線與線段中垂線的交點，所以點既在橢圓上，也在直線上。因此，直線與橢圓至少有一個公共點，即直線與橢圓相切或相交。

假設直線與橢圓相交，設另一個交點爲（與不重合）、因爲，所以；又因爲，

所以爲定值，而，矛盾、因此直線與橢圓相切。

探究3：兩卵相依——對稱旋轉橢圓的形成與動畫

當圓內動點取在圓的同心圓上，作橢圓關於切線的對稱橢圓，運動點，隱藏相關座標系與輔助圓等圖形，呈現兩卵相互依偎旋轉的有趣效果。

改變一些問題條件，進行深入探究與發現。

探究4：改變點位置，探究點軌跡

（1）曲線判斷：利用TI圖形計算器作圖分析，拖動點，當點在定圓內且不與圓心重合時，交點的軌跡是橢圓；當點在定圓外時，則，交點的軌跡是雙曲線；當點與圓心重合時，點的軌跡是圓的同心圓；當點在圓周上時，點的軌跡是是一點（圓心）、

（2）方程證明：圓，設點，可解得點的軌跡方程爲

當或時，點的'軌跡爲圓心；

當且時，點的軌跡方程爲

當時，點的軌跡爲圓：；

當且時，點的軌跡爲橢圓；

當或時，點的軌跡爲雙曲線。

探究5：改變切線位置，探究由切線得到的包絡圖形

查閱有關參考書籍，瞭解圓錐曲線的包絡線，並利用圖形計算器作出橢圓、雙曲線的包絡圖形，自主探究拋物線的包絡線（將定圓改爲定直線）。

結論：所謂包絡圖，就是指有一條曲線按照一定運動規律運動，保留其所有瞬間位置的影像，會有一條曲線能夠和該運動曲線所有位置相切，這條曲線就成爲該運動曲線的包絡線。

探究6：拓展延伸：橢圓切線的幾個性質及其應用

性質1：是橢圓的兩個焦點，若點是橢圓上異於長軸兩端點的任一點，則點的切線平分的外角。

性質1′：點處的法線（過點且垂直於切線）平分。（即爲橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射後，反射光線交於橢圓的另一個焦點上。）

課後探究：閱讀數學選修2—1P75閱讀與思考——圓錐曲線的光學性質及其應用，瞭解雙曲線、拋物線的光學性質。

練習1：已知爲橢圓的左、右焦點，點爲橢圓上任一點，過焦點向作垂線，垂足爲，則點的軌跡是_____________，軌跡方程是_______________。

解：（1）直觀判斷：作軌跡

（2）嚴謹證明：圓的定義

由此得到：

性質2：是橢圓的兩個焦點，是長軸的兩個端點，過橢圓上異於的任一點的切線，過做切線的垂線，垂足分別爲，則在以長軸爲直徑的圓上。

練習2：已知爲橢圓的左、右焦點，點爲橢圓上任一點，直線與橢圓相切與點，且到的垂線長分別爲，求證：爲定值。

解：

（1）直觀判斷：作圖

（2）嚴謹證明：利用性質2及圓的相交弦性質，

由此得到：

性質3：已知橢圓爲，則焦點到橢圓任一切線的垂線長乘積等於。

課後探究2：已知爲橢圓的左、右焦點，點爲橢圓上任一點，直線過點，且到的垂線長分別爲，則

①當時，直線與橢圓的位置關係；（相交）

②當時，直線與橢圓的位置關係。（相離）

（類比直線與圓位置關係的幾何法，此爲直線與橢圓位置關係的幾何法）

課後探究：雙曲線、拋物線的切線是否有類似性質？