高一數學函數知識點總結

總結是對某一階段的工作、學習或思想中的經驗或情況進行分析研究的書面材料，它有助於我們尋找工作和事物發展的規律，從而掌握並運用這些規律，讓我們來爲自己寫一份總結吧。你想知道總結怎麼寫嗎？以下是小編整理的高一數學函數知識點總結，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

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一、函數的概念與表示

1、映射

(1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對於集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

2、函數

構成函數概念的三要素

①定義域②對應法則③值域

兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同

二、函數的解析式與定義域

1、求函數定義域的主要依據：

(1)分式的分母不爲零;

(2)偶次方根的被開方數不小於零，零取零次方沒有意義;

(3)對數函數的真數必須大於零;

(4)指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1;

三、函數的值域

1求函數值域的方法

①直接法：從自變量x的範圍出發，推出y=f(x)的取值範圍，適合於簡單的複合函數;

②換元法：利用換元法將函數轉化爲二次函數求值域，適合根式內外皆爲一次式;

③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值範圍;適合分母爲二次且∈R的分式;

④分離常數：適合分子分母皆爲一次式(x有範圍限制時要畫圖);

⑤單調性法：利用函數的單調性求值域;

⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其值域;

⑦利用對號函數

⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數

四.函數的奇偶性

1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對於任意∈A，都有，則稱y=f(x)爲偶函數。

如果對於任意∈A，都有，則稱y=f(x)爲奇

函數。

2.性質：

①y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關於軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關於原點對稱,

②若函數f(x)的定義域關於原點對稱，則f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域D1，D2，D1∩D2要關於原點對稱]

3.奇偶性的判斷

①看定義域是否關於原點對稱②看f(x)與f(-x)的關係

五、函數的單調性

1、函數單調性的定義：

2設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。

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一：函數及其表示

知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關係的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等

1. 函數與映射的區別：

2. 求函數定義域

常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：

①當f(x)爲整式時，函數的定義域爲R.

②當f(x)爲分式時，函數的定義域爲使分式分母不爲零的實數集合。

③當f(x)爲偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小於0的實數集合。

④當f(x)爲對數式時，函數的定義域是使真數爲正、底數爲正且不爲1的實數集合。

⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那麼函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。

⑥複合函數的定義域是複合的各基本的函數定義域的交集。

⑦對於由實際問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

3. 求函數值域

(1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域;

(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那麼將這個函數的右邊配方，通過自變量的範圍可以求出該函數的值域;

(3)、判別式法：

(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;

(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化爲以新變量爲自變量的函數形式，進而求出值域;

(6)、利用函數的單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那麼就可以利用端點的函數值來求出值域;

(7)、利用基本不等式：對於一些特殊的分式函數、高於二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;

(8)、最值法：對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;

(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那麼求函數的值域可以轉化爲求反函數的定義域。

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本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的週期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的週期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數的圖象就迎刃而解了。

一、函數的單調性

1、函數單調性的定義

2、函數單調性的判斷和證明：

(1)定義法

(2)複合函數分析法

(3)導數證明法

(4)圖象法

二、函數的奇偶性和週期性

1、函數的奇偶性和週期性的定義

2、函數的奇偶性的判定和證明方法

3、函數的週期性的判定方法

三、函數的圖象

1、函數圖象的作法

(1)描點法

(2)圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

常見考法

本節是段考和大學聯考必不可少的考查內容，是段考和大學聯考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，並且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬於拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

誤區提醒

1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優先的原則”。

2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。

3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。

4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關於原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。

5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然後確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

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【(一)、映射、函數、反函數】

1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.

2、對於函數的概念，應注意如下幾點：

(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否爲同一函數.

(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關係式，特別是會求分段函數的解析式.

(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那麼y=f[g(x)]叫做f和g的複合函數，其中g(x)爲內函數，f(u)爲外函數.

3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：

(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;

(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(x)，並註明定義域.

注意①：對於分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然後再合併到一起.

②熟悉的應用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.

【(二)、函數的解析式與定義域】

1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：

(1)有時一個函數來自於一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;

(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

①分式的分母不得爲零;

②偶次方根的被開方數不小於零;

③對數函數的真數必須大於零;

④指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1;

⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，餘切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域爲各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值範圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

2、求函數的解析式一般有四種情況

(1)根據某實際問題需建立一種函數關係時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.

(2)有時題設給出函數特徵，求函數的解析式，可採用待定係數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b爲待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.

(3)若題設給出複合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當於求函數的定義域.

(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.

【(三)、函數的值域與最值】

1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對於結構較爲簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式裏一次式時用代數換元，當根式裏是二次式時，用三角換元.

(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關係，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可採用此法求得.

(4)配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形爲關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可採用單調性法求出函數的值域.

(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

2、求函數的最值與值域的區別和聯繫

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的`，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域後，如x>0時，函數的最小值爲2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

3、函數的最值在實際問題中的應用

函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現爲“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

【(四)、函數的奇偶性】

1、函數的奇偶性的定義：對於函數f(x)，如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那麼函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關於原點對稱是函數f(x)爲奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恆等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。爲了便於判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

注意如下結論的運用：

(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;

(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那麼在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

(3)奇偶函數的複合函數的奇偶性通常是偶函數;

(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

3、有關奇偶性的幾個性質及結論

(1)一個函數爲奇函數的充要條件是它的圖象關於原點對稱;一個函數爲偶函數的充要條件是它的圖象關於y軸對稱.

(2)如要函數的定義域關於原點對稱且函數值恆爲零，那麼它既是奇函數又是偶函數.

(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定義域關於原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

(6)奇偶性的推廣

函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於直線x=a對稱，即y=f(a+x)爲偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關於點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)爲奇函數。

【(五)、函數的單調性】

1、單調函數

對於函數f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統稱爲單調函數.

對於函數單調性的定義的理解，要注意以下三點：

(1)單調性是與“區間”緊密相關的概念.一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性.

(2)單調性是函數在某一區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

(3)單調區間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域範圍內.

(4)注意定義的兩種等價形式：

設x1、x2∈[a，b]，那麼：

①在[a、b]上是增函數;

在[a、b]上是減函數.

②在[a、b]上是增函數.

在[a、b]上是減函數.

需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大於(或小於)零.

(5)由於定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關係和函數值之間的不等關係可以“正逆互推”.

5、複合函數y=f[g(x)]的單調性

若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則複合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.

在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化爲討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握並熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.

6、證明函數的單調性的方法

(1)依定義進行證明.其步驟爲：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.

(2)設函數y=f(x)在某區間內可導.

如果f′(x)>0，則f(x)爲增函數;如果f′(x)<0，則f(x)爲減函數.

【(六)、函數的圖象】

函數的圖象是函數的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問題的意識.

求作圖象的函數表達式

與f(x)的關係

由f(x)的圖象需經過的變換

y=f(x)±b(b>0)

沿y軸向平移b個單位

y=f(x±a)(a>0)

沿x軸向平移a個單位

y=-f(x)

作關於x軸的對稱圖形

y=f(|x|)

右不動、左右關於y軸對稱

y=|f(x)|

上不動、下沿x軸翻折

y=f-1(x)

作關於直線y=x的對稱圖形

y=f(ax)(a>0)

橫座標縮短到原來的，縱座標不變

y=af(x)

縱座標伸長到原來的|a|倍，橫座標不變

y=f(-x)

作關於y軸對稱的圖形

【例】定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

①求證：f(0)=1;

②求證：y=f(x)是偶函數;

③若存在常數c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個週期;如果不是，請說明理由.

思路分析：我們把沒有給出解析式的函數稱之爲抽象函數，解決這類問題一般採用賦值法.

解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因爲f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)爲偶函數.

③分別用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

所以，所以f(x+c)=-f(x).

兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個週期.