高中數學必備函數知識點公式及練習題

(1)高中函數公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關係時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

(2)一次函數：①若兩個變量間的關係式可以表示成爲常數，不等於0)的形式，則稱是的一次函數。

②當=0時，稱是的正比例函數。

(3)高中函數的一次函數的圖象及性質

①把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作爲點的橫座標與縱座標，在直角座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

②正比例函數的圖象是經過原點的一條直線。

③在一次函數中，當0，O，則經2、3、4象限;當0，0時，則經1、2、4象限;當0，0時，則經1、3、4象限;當0，0時，則經1、2、3象限。

④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。

(4)高中函數的二次函數：

如何應對大學聯考數學難題？

這個，其實很多不瞭解這個，的難度並不是層層遞增，有時候我們打個比方，這個應該叫做梯度螺旋上升，那個難度有點像這樣了，就是上去了下來了，上去了下來了，就這種感覺。

你比如說選擇題，1到8，肯定是逐漸變難，到了填空題，第一個肯定要比，就是試卷中的第9題，一定要比第8題簡單，到了填空題又是重新來，所以這是梯度螺旋上升。所以一般我們說你別看小題的最後一道，肯定比解答題第一道還難，學生應該瞭解，其實命題爲什麼這麼命題？其實也是體現了一種人文關懷，就是希望學生呢，你前面小題做得差不多，到了後面一些小困難的話，由簡到難，他可能信心上起來，最後難題也能做出來了，這是很好的。

考生真是遇到不會做的題，很有可能是這個題型板塊中比較靠後的，這個對於每個人來說都不太好做，以北京卷爲例，84、20，這個題肯定不好做，你20題不會做根本不用什麼難過，好多學生連看都不用看，所以這種題不會做不用很擔心，不會做很正常，開句玩笑，你會做纔不正常，你要是會做試卷沒有區分度了。

所以很多學生不是末尾的題不會做，而是之前的題，就是螺旋上升中間的時候有點困難，這個時候心態會產生很大變化，他想知道遇到這個情況怎麼處理，這個問題真的很好，你要考慮得非常全面，如果中不是末尾題，而是做到中間有困難應該怎麼辦？第一個還是心態很重要，你要知道，它前面從命題人角度來說，他不希望你這個題做到一半卡住，他可能最後的時候把這個分數收起來，不會讓你得分，所以之前的題你不會做可能由於緊張，可能你剛上考場，比較緊，沒有放開，一下卡住了，所以你千萬別緊張，有時候我們說這時候你要冷靜，平和一下心態，把好好分析分析，看看這個題突破口在哪兒？冷靜思考思考，可能問題就解決了。

有時候我們說，其實你看，將來考試真是這，他每個題出來長得都是挺嚇人的，我們小時候看的《西遊記》一樣，妖怪出來都挺嚇人的，孫悟空一打，最後其實都是一些小動物，小貓小狗，題感覺都一樣，每個題出來感覺都挺嚇人，長得千奇百怪，尤其現在課標改了以後，它會考你讀題和分析，所以每個題出來提綱都很長，很多人非常不適應處理這個題，所以你千萬要冷靜，別看這個題長得挺怪就嚇住你了，所以重要思想就是轉化和劃歸，你要把這個題轉化成熟悉的問題，所以你一定要冷靜，分析分析，其實這個題並不見得難度很大，所以調整好心態，比如深呼吸、放冷靜，然後再看一看，分析分析，它到底是想考什麼內容，給它準確定位，然後很可能這個題自然就出來了。

但是有些題我分析分析想一想還是挺難的，這個時候怎而辦呢？你比如我舉個例子，像全國有一年 高中化學，考的第一題選擇題，就考了一個幾何，他那個幾何本身其實也不很難，他考了一個摩根定律，摩根定律準確說課本中其實是沒有的，好多人連兩項的摩根定律都記不住，而且那個題考的是三項摩根定律，所以第一題就考了，好多人上來考場，然後一做他就蒙了，就感覺今年廢了，難道我數學一分都得不上，第一題就不會了，就感覺很緊張。

如果真是遇見這種題的話，你也不用太慌張，有時候我們就說什麼情況呢？錯誤的想法，一看不會做的題，就是我完了，其實正確的想法應該是大家都完了，就是這些題可能也會出現，但是你千萬別緊張，調整好心態。

然後如果是小題遇見的話，你必須先圈住，對吧，彆着急在那兒糾結半天，好多人一個小題做十分鐘，那個真是會影響後面解答題做的，所以你可以先圈住，可能你第一開始剛上考場，還是我說的，思維有點緊，然後你後面題做完了，你心態可能也平和一點了，回來再反攻，可能一些問題就可以做出來了，也不一定。

所以還是遇見這種真不會做的題，我們通常說，如果是選擇填空，你可以先空下來，然後回來再去反攻，如果反攻還不行的話，就是我們說有時候小題是有技巧的，比如還是剛纔那個，舉的05年全國交考的那個題，它其實考了三個集合，三個集合並起來，等於（全集優），然後問你下列ABCD哪個正確，所以你不見得會做這個題，你可以用一些技巧。比如人家有的人很，他說三個集合並起來是（全集優），人家舉個例子，我說第一個集合一二，然後二三，第二集合二三，第三集合三四，那麼全集優就一二三四，我把我構造的這三個集合代到ABCD中去驗證，就類似於這種小技巧，其實選擇填空也可以用上。

如果遇到大題，如果真的不會，然後我又分析了半天也沒有想到，這個時候我們應該怎麼辦？一般我們告訴學生就是，你就儘量寫唄，因爲將來考試，我們判卷也是這樣，他不可能是你最後結果出來了，我就給你，你結果不正確我一分不給你，那不可能的，解答題他是論步給分，對吧，所以如果你要不會做你儘量寫上，反正寫錯他也不扣分，所以你使勁往上寫，把你會的都寫，所有的提示都寫上，將來起碼會得到一些步驟分，所以你也不用太緊張，調整好你的心態，遇見不會做的題，首先是冷靜，好好分析分析，現在課標改了以後，其實難題比重不會很大，像原來大學聯考數學真是，用一句話說是很難很難的，有的題真的是太難了，我們都做不出來，像現在特別難的題比重在降低，有些題其實是比較靈活，所以你千萬別緊張。

然後另外一個小題如果不會，可以多想一想技巧，看我能不能用其它技巧把它做出來，你選擇題不能當填空題做，填空題也不能當解答題做，他是不計過程的，你各種辦法做出來都可以，然後解答題遇到真不會做的，你就儘量寫，順着他那個題的意思，然後把你能寫上去的都寫上去。

其實他那個評分的時候，學生可能不知道，他拿的可能是評分細則，那個評分細則中，分數是精確到一分的，他有時候拿的標答裏面，有時候可能只給兩段，對吧，你第一部分做出來給你6分，第二部分做出來給你7分，實際上考試並不是這樣的，實際上判卷的話，它可能會精確到一分一分的，有時候判卷，並不是給你挑錯的，是給你對的，就是他會找你這個試卷中哪個地方會得分，所以你就儘量寫，把你會的都寫上去，得一些步驟分，這個其實很關鍵，就是這樣。

三角形面積公式

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。 三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。

面積公式：

（1）S＝ah/2

(2).已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）（p=(a+b+c)/2）

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S＝1/2 * absinC

(4).設三角形三邊分別爲a、b、c，內切圓半徑爲r

S=(a+b+c)r/2

(5).設三角形三邊分別爲a、b、c，外接圓半徑爲R

S=abc/4R

(6).根據三角函數求面積：

S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注:其中R爲外切圓半徑。

3.4基本不等式

重難點：瞭解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題．

考綱要求：①瞭解基本不等式的證明過程．

②會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題．

經典例題：若a，b，c都是小於1的正數，求證：，，不可能同時大於．

當堂練習：

1. 若，下列不等式恆成立的是 （ ）

A． B． C． D．

2. 若且，則下列四個數中最大的是 （ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a

3. 設x>0,則的最大值爲 （ ）

Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．－1

4. 設的最小值是( )

A. 10 B. C. D.

5. 若x, y是正數，且，則xy有 （ ）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值

6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是 （ ）

A． B．

C． D．

7. 若x>0, y>0,且x+y4,則下列不等式中恆成立的是 （ ）

A． B． C． D．

8. a,b是正數，則三個數的大小順序是 （ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

9. 某產品的產量第一年的增長率爲p，第二年的增長率爲q，設這兩年平均增長率爲x，則有（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

10. 下列函數中，最小值爲4的是 （ ）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

11. 函數的最大值爲 .

12. 建造一個容積爲18m3, 深爲2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m2 的.造價爲200元和150元，那麼池的最低造價爲 元.

13. 若直角三角形斜邊長是1，則其內切圓半徑的最大值是 .

14. 若x, y爲非零實數，代數式的值恆爲正，對嗎？答 .

15. 已知：, 求mx+ny的最大值.

16. 已知．若、, 試比較與的大小，並加以證明.

17. 已知正數a, b滿足a+b=1（1）求ab的取值範圍;（2）求的最小值.

18. 設.證明不等式 對所有的正整數n都成立.

參考答案：

經典例題：

【 解析】 證法一 假設，，同時大於，

∵ 1－a>0，b>0，∴ ≥，

同理，.三個不等式相加得，不可能，

∴ (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同時大於.

證法二 假設，，同時成立，

∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴ ，

即. （*） 又∵ ≤，

同理≤，≤，

∴≤與（*）式矛盾，

故不可能同時大於.

當堂練習：

1.A; 2.B; 3.C; 4.D; 5.C; 6.A; 7.B; 8.C; 9.C; 10.C;11. ; 12. 3600 ;

13. ; 14. 對;

15．

16. 【 解析】 ．

當且僅當＝時，取“＝”號．

當時，有．

即．

當時，有．

即

17. (1) (2)

18．【 解析】 證明 由於不等式

對所有的正整數k成立,把它對k從1到n(n≥1)求和,得到

又因 以及

因此不等式對所有的正整數n都成立.

1.4常用邏輯用語單元測試

1．函數f（x）=x|x+a|+b是奇函數的充要條件是 （ ）

A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=0

2．“至多有三個”的否定爲 （ ）

A．至少有三個 B．至少有四個 C．有三個 D．有四個

3．有金盒、銀盒、鉛盒各一個，只有一個盒子裏有肖像．金盒上寫有命題p：肖像在這個盒子裏；銀盒上寫有命題q：肖像不在這個盒子裏；鉛盒上寫有命題r：肖像不在金盒裏．p、q、r中有且只有一個是真命題，則肖像在 （ ）

A．金盒裏 B．銀盒裏

C．鉛盒裏 D．在哪個盒子裏不能確定

4．不等式 對於恆成立，那麼的取值範圍是（ ）

A． B． C． D．

5．“a和b都不是偶數”的否定形式是 （ ）

A．a和b至少有一個是偶數 B．a和b至多有一個是偶數

C．a是偶數，b不是偶數 D．a和b都是偶數

6．某食品的廣告詞爲：“幸福的人們都擁有”，初聽起來，這似乎只是普通的讚美說詞，然

而他的實際效果大哩，原來這句話的等價命題是 （ ）

A．不擁有的人們不一定幸福 B．不擁有的人們可能幸福

C．擁有的人們不一定幸福 D．不擁有的人們不幸福

7．若命題“p或q”爲真，“非p”爲真，則 （ ）

A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假

8．條件p：，，條件q：，，則條件p是條件q的（ ）

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充要條件 D．即不充分也不必要條件

9．2x2－5x－3＜0的一個必要不充分條件是 （ ）

A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6

10．設原命題：若a+b≥2，則a,b 中至少有一個不小於1。則原命題與其逆命題的真假情況是（ ）

A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真

C．原命題與逆命題均爲真命題 D．原命題與逆命題均爲假命題

11．下列命題中_________爲真命題．

①“A∩B=A”成立的必要條件是“AB”；

②“若x2+y2=0，則x，y全爲0”的否命題；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；

④“圓內接四邊形對角互補”的逆否命題。

12．若p：“平行四邊形一定是菱形”，則“非p”爲___ _____。

13．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件,q是s的充分條件，則s是q的 條件，r是q的 條件，p是s的 條件。

14．設p、q是兩個命題，若p是q的充分不必要條件，那麼非p是非q的 條件。

15．分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，並判斷其真假。

（1）矩形的對角線相等且互相平分；

（2）正偶數不是質數。

16．寫出由下述各命題構成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的複合命題，並指出所構成的這些複合命題的真假.

（1）p：連續的三個整數的乘積能被2整除，q：連續的三個整數的乘積能被3整除。

（2）p：對角線互相垂直的四邊形是菱形，q：對角線互相平分的四邊形是菱形。

17．給定兩個命題,

：對任意實數都有恆成立；：關於的方程有實數根；如果與中有且僅有一個爲真命題，求實數的取值範圍。

18．已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那麼

（1）s是q的什麼條件？（2）r是q的什麼條件？（3）p是q的什麼條件？

19．設0<a, b, c<1，求證：（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不同時大於．

20．求證：關於x的方程x2+2ax+b=0 有實數根，且兩根均小於2的充分但不必要條件是a≥2且|b| ≤4.

參考答案：

1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平行四邊形不一定是菱形；或至少存在一個平行四邊形不是菱形; 13. 必要，充分，必要;14. 必要不充分

15．本題考查四種命題間的關係．

解：（1）逆命題：若一個四邊形的對角線相等且互相平分，則它是矩形（假命題）．

否命題：若一個四邊形不是矩形，則它的對角線不相等或不互相平分（假命題）．

逆否命題：若一個四邊形的對角線不相等或不互相平分，則它不是矩形（真命題）．

（2）逆命題：如果一個正數不是質數，那麼這個正數是正偶數（假命題）．

否命題：如果一個正數不是偶數，那麼這個數是質數（假命題）．

逆否命題：如果一個正數是質數，那麼這個數不是偶數（假命題）．

16．解：（1）根據真值表，複合命題可以寫成簡單形式：

p或q：連續的三個整數的乘積能被2或能被3整除.

p且q：連續的三個整數的乘積能被2且能被3整除.

非p：存在連續的三個整數的乘積不能被2整除.

∵連續的三整數中有一個（或兩個）是偶數，而有一個是3的倍數，

∴p真，q真，∴p或q與p且q均爲真，而非p爲假.

（2）根據真值表，只能用邏輯聯結詞聯結兩個命題，不能寫成簡單形式：

p或q：對角線互相垂直的四邊形是菱形或對角線互相平分的四邊形是菱形.

p且q：對角線互相垂直的四邊形是菱形且對角線互相平分的四邊形是菱形.

非p：存在對角線互相垂直的四邊形不是菱形.

∵p假q假，∴p或q與p且q均爲假，而非p爲真.

17．解：對任意實數都有恆成立

；關於的方程有實數根；如果P正確，且Q不正確，有；如果Q正確，且P不正確，有。所以實數的取值範圍爲。

18．本題考查充要條件、充分條件、必要條件．對於這類問題，將語言敘述符號化，畫出它們的綜合結構圖，再給予判定．

解：p、q、r、s的關係如圖所示，由圖可知

答案：（1）s是q的充要條件 （2）r是q的充要條件 （3）p是q的必要條件

19．證明：用反證法，假設，①+②+③得：

，左右矛盾，故假設不成立，∴（1－a）b,（1－b）c，（1－c）a不同時大於.

20．解析：先證充分性，而必要性只需要通過舉反例來否定.

先證明條件的充分性：

∴方程有實數根 ①

①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有實數根，且兩根均小於2”.

再驗證條件不必要：

∵方程x2－x=0的兩根爲x1=0, x2=1，則方程的兩根均小於2，而a=－<2，

∴“方程的兩根小於2” “a≥2且|b|≤4”.

綜上，a≥2且|b|≤4是方程有實數根且兩根均小於2的充分但不必要條件.