大學聯考數學必備方差公式

一.方差的概念與計算公式

例1 兩人的5次測驗成績如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記爲D(X )：直接計算公式分離散型和連續型，具體爲：

這裏D(X) 是一個數。推導另一種計算公式

得到：“方差等於平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別爲離散型和連續型計算公式。 稱爲標準差或均方差，方差描述波動

二.方差的'性質

1.設C爲常數，則D(C) = 0(常數無波動);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常數平方提取);

證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)

3.若X 、Y 相互獨立，則

證：記則前面兩項恰爲 D(X )和D(Y )，第三項展開後爲當X、Y 相互獨立時，，故第三項爲零。特別地獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)

方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n

三.常用分佈的方差

1.兩點分佈

2.二項分佈

X ~ B ( n, p )引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分佈)

3.泊松分佈(推導略)

4.均勻分佈

另一計算過程爲

5.指數分佈(推導略)

6.正態分佈(推導略)

7.t分佈 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分佈：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

~正態分佈的後一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特徵是相符的。

例2 求上節例2的方差。

解 根據上節例2給出的分佈律，計算得到

工人乙廢品數少，波動也小，穩定性好。

方差的定義：

設一組數據x1,x2,x3······xn中，各組數據與它們的平均數x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)，(x2-x拔)······(xn-x拔)，那麼我們用他們的平均數s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+·····(xn-x拔)】來衡量這組數據的波動大小，並把它叫做這組數據的方差。