反比例函數的圖像和性質

導語：下面是反比例函數及其圖像性質的教材分析，歡迎參考閱讀。

反比例函數及其圖像性質教材分析

(1)知識結構

(2)重點、難點分析

本節的重點是結合圖象，總結出反比例函數的性質.學習了前面三個基本函數後，學生有了一些識圖的能力，並掌握了基本的研究方法.學生在經歷了一個畫圖的過程後，可以通過觀察、分析、與同學的相互討論、交流中，逐步形成對反比例函數的全面認識.可以培養學生運用數形結合的數學思想方法，也是一個數學地發現問題解決問題的過程.本節的另一個重點是用待定係數法求反比例函數的解析式，這種方法在求四種基本函數解析式中都已經用到，本節課通過鞏固練習，可進一步提高對待定係數法的認識.例如學生可以觀察出有幾個待定係數，就需要幾對自變量與函數的對應值，即幾個方程.

本節的難點是描點、畫圖，由於學生知識的限制，描點、畫圖不能對圖形有一個全面的把握.這樣，學生在描點畫圖時就會感到困難，無法估計出這個圖象到底是什麼樣子，感到無從下手.因此，從解析式中可以進行初步的分析，認識到反比例函數的圖象分成兩支，以便初步認識其圖象的大致變化趨勢.

教法建議

數學教育的目的之一是幫助學生認識數學，數學與現實世界有着密切的聯繫，而且數學的發展是一個充滿着觀察、實驗、歸納、類比和猜測的探索過程，因此，學生在獲得知識的同時，也應該養成尊重客觀事實的態度，勇於探索的精神以及獨立思考與人合作交流的習慣.具體安排如下：

(1)從實例中抽象出數學模型

國小學習過反比例關係的知識，現在的物理、化學等學科中也有許多反比比例的實例.學生可以從比較簡單的實例中，抽象出這類函數的特點，形成反比例函數的概念.

(2)畫出圖象，研究反比例函數的性質

可以創設數學情境，引導學生找出數與形的關係.如：k>0時，x與y同號，圖象在一、三象限，k<0時，x、y異號，圖象在二、四象限.類似的結論，可以在畫圖前，先組織學生猜測，並說明根據，畫圖後，再進行補充.讓學生體驗數學知識的形成過程.

(3)牢固掌握待定係數法

進一步熟悉待定係數法解題的一般步驟，並通過不斷地運用，逐漸發現有幾個待定係數，就應列出幾個相應的方程.這樣反比例函數只需一對自變量與函數的對應值就可確定其解析式.

教學目標

1、使學生能從簡單的實際問題中抽象出反比例關係的函數解析式;

2、會畫出反比例函數的圖象，並能結合圖象總結出反比例函數的性質，滲透數形結合的數學思想;.

3、會用待定係數法求反比例函數的解析式;

4、通過揭示正比例函數與反比例函數的聯繫與轉化，滲透辯證唯物主義的思想;

5、通過觀察、歸納、總結反比例函數的性質，培養學生勇於探索的科學精神;

6、培養學生數學地發現問題，並利用數學知識解決問題的能力.

教學重點：

反比例的概念、圖像、性質以及用待定係數法確定反比例函數的解析式.因爲要研究反比例函數就必須明確反比例函數的上述問題.

教學難點：

畫反比例函數的圖像，因爲反比例函數的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難.

教學過程：

一、新課引入：

看下面的實例：(出示幻燈)

1.小紅家到學校的路程有5公里，寫出她上學所用的時間t與速度v的函數關係式;

2.有一個矩形面積是3平方米，寫出它的長a與寬b之間的函數關係式;

3.十一放七天假，老師佈置要記憶36個單詞.設小明完成的天數爲n，每天的單詞量爲m，寫出m 與n 的函數關係式?

答：從函數的觀點看，在運動變化的過程中，這兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成： ( )， ( )， ( )

二、新課講解：

1、讓學生觀察這幾個函數的特點，然後得出反比例函數的概念：(板書)

一般地，函數 (k是常數， )叫做反比例函數.

注意：自變量的指數是 -1，而不是1.

例1、判斷以下哪個式子中的x、y表示反比例函數關係?

⑴ ⑵ ⑶

例2、寫出下列函數的解析式，並判斷他們是不是反比例函數，如果是，求出他們的定義域.

⑴一個圓柱形鋼材的體積是800cm3,寫出它的底面積 和高 的函數關係.⑵壓強大小是由單位面積所受到的壓力決定的，那麼當物體受到的垂直壓力爲100牛時，寫出壓強與受力面積的函數關係.

2、根據前面學習特殊函數的經驗，研究完函數的概念，跟着要研究的是什麼?

答：圖像和性質.

通過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發生、發展過程有一個明確的認識，以後

學生要研究其他函數，也可以按照這種方式來研究.

下面，我們就來看一個例題：(出示幻燈)

例3、在平面直角座標系中畫出反比例函數 與 的圖像.

提問：⑴畫函數圖像的關鍵問題是什麼?

答：合理、正確地選值列表.

⑵在選值時，你認爲要注意什麼問題?

答：Ⅰ、由於函數圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好;

Ⅱ、不能選 ，因爲 時函數無意義;

Ⅲ、選整數較好計算和描點.

這個問題中最核心的一點是關於 的問題，提醒學生注意.

⑶你能不能自己完成這道題呢?

解：列表

x -6 -5 -4 -3 1 2 3 4 5 6

-1 -1.2 -1.5 -2 6 3 2 1.5 1.2 1

1 1.2 1.5 2 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 1

說明：由於學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱着取分別畫點描圖

學生在練習本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之後，找一名同學上黑板連線，然後就這名同學的連線加以評價、總結.

注意：(1)一般地反比例函數 (k是常數， )的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線;

(2)這兩條曲線不相交;

(3)這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.

關於注意(3)可問學生：爲什麼圖像與x和y軸不相交?

通過這個問題既可加深學生對反比例函數圖像的'記憶又可培養學生思維的靈活性和深刻性.

3、再讓學生觀察黑板上的雙曲線圖 ，提問、歸納、總結出反比例函數的性質：

(1)當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內?在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化?

(2)當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內?在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化?

這兩個問題由學生討論總結之後回答，教師板書：

(1)當 時，雙曲線的兩分支位於一、三象限，y隨x的增大而減少;

從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

(2)當 時，雙曲線的兩分支位於二、四象限，y隨x的增大而增大.

抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的研究過程.

注意：同樣可以推出函數 的圖象的性質.

4、反比例函數的這一性質與正比例函數的性質有何異同?

通過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯起來，便於記憶和應用.

5、反比例函數的簡單練習：

上面，我們討論了反比例函數的概念、圖像和性質，下面我們再來看一個不同類型的例題：

例4、選擇題：

1、在同一座標系內，函數 與 的圖象的交點個數爲( ).

(A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D)4個

2、若反比例函數 的圖象在它所在的象限內，y隨x的增大而增大，則m的值是( )

(A)-2. (B)2. (C)±2. (D)以上結果都不對.

三、課堂小結：教師提問，學生思考回答：

1.什麼是反比例函數?

2.反比例函數的圖像是什麼樣的?

3.反比例函數 的性質是什麼?

4.命題方向及題型設置，反比例函數也是會考命題的主要考點，其圖像和性質，以及其函數解析式的確定，常以填空題、選擇題出現，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現不少將反比例函數與一次函數、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容.

四、佈置作業P80 練習1，2

五、板書設計

反比例函數及其圖像

引例：(1)例1：　　例2：　　例3：

例4：

1.反比例函數的圖象：

2.反比例函數的性質

六、補充材料：

馬爾克廣場上的遊戲

在世界著名的水都威尼司斯，有個馬爾克廣場.廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂.教堂的前面是一方開闊地.這片開闊地經常吸引着四方遊人到這裏做一種奇特的遊戲：把眼睛蒙上，然後從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面!

奇怪的是，儘管這段距離只有175米，但卻沒有一名遊客能幸運地做到這一點!全都如下圖那般，走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊!

類似的情形也有很多，這與俗話說的鬼打牆類似.有許多人在沙漠或雪地裏，由於迷失方向而在原地打圈子，這一切近乎玩笑般的遭遇，終於引起了科學家的注意.

公元1896年，挪威生理學家古德貝對閉眼打轉的問題進行深入的探討.他蒐集了大量的事例後分析說：這一切都是由於人自身兩條腿在作怪!長年累月養成的習慣，使每個人一隻腳伸出的步子長一段微不足道的距離.而正是這一段很小的步差x，導致了這個人走出一個半徑爲y的大圈子!

現在我們將這個過程數學化，研究一下x與y之間的函數關係.

假定某個兩腳踏線間相隔爲d.很顯然，當人在打圈子時，兩隻腳實際上走出了兩個半徑相差爲d的同心圓.設該人平均步長爲1.那麼，一方面這個人外腳比內腳多走路程

另一方面，這段路程又等於這個人走一圈的步數與步差的乘積，

即：

對一般的人， 米， 米，代入得(單位米)

這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式.是我們學過的反比例函數(圖象如下圖).今設迷路人兩腳步差爲 毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的範圍內繞圈子!

讓我們回到那個馬克爾廣場的遊戲上來.我們先計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端中央的M點，要想抵達教堂CD，最小的弧線半徑應該是多少?

如圖，注意到矩形ABCD邊BC=175(米)， (米).上述問題可以轉化成幾何中的命題：已知 與 .求 的半徑 的大小.

這就說,遊人要想成功,他所走弧線半徑必須不小於394米.我們再來計算一下，要達到上述要求，遊人的兩腳步差需要什麼限制.

這表明遊人的兩隻腳步差必須小於 毫米，否則就難以成功.然而在閉眼的情況下兩腳這麼小的步差一般人是達不到的，這就是在遊戲中爲什麼沒有人能夠蒙上眼睛走到教堂前面的道理。