函數概念的發展歷史
數學史表明,重要的數學概念的產生和發展,對數學發展起着不可估量的作用。有些重要的數學概念對數學分支的產生起着奠定性的作用。我們剛學過的函數就是這樣的重要概念。
在笛卡爾引入變量以後,變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域。縱覽宇宙,運算天體,探索熱的傳導,揭示電磁祕密,這些都和函數概念息息相關。正是在這些實踐過程中,人們對函數的概念不斷深化。
回顧一下函數概念的發展史,對於剛接觸到函數的國中同學來說,雖然不可能有較深的理解,但無疑對加深理解課堂知識、激發學習興趣將是有益的。
最早提出函數(function)概念的,是17世紀德國數學家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪,如都叫函數。以後,他又用函數表示在直角座標系中曲線上一點的橫座標、縱座標。
1718年,萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函數定義爲:“由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量。”意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數。貝努利所強調的是函數要用公式來表示。
後來數學家覺得不應該把函數概念侷限在只能用公式來表達上。只要一些變量變化,另一些變量能隨之而變化就可以,至於這兩個變量的關係是否要用公式來表示,就不作爲判別函數的標準。
1755年,瑞士數學家歐拉把函數定義爲:“如果某些變量,以某一種方式依賴於另一些變量,即當後面這些變量變化時,前面這些變量也隨着變化,我們把前面的變量稱爲後面變量的函數。”在歐拉的定義中,就不強調函數要用公式表示了。由於函數不一定要用公式來表示,歐拉曾把畫在座標系的曲線也叫函數。他認爲:“函數是隨意畫出的一條曲線。”
當時有些數學家對於不用公式來表示函數感到很不習慣,有的數學家甚至抱懷疑態度。他們把能用公式表示的函數叫“真函數”,把不能用公式表示的函數叫“假函數”。1821年,法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義:“在某些變數間存在着一定的關係,當一經給定其中某一變數的值,其他變數的值可隨着而確定時,則將最初的變數叫自變量,其他各變數叫做函數。”在柯西的定義中,首先出現了自變量一詞。
1834年,俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義:“x的.函數是這樣的一個數,它對於每一個x都有確定的值,並且隨着x一起變化。函數值可以由解析式給出,也可以由一個條件給出,這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關係可以存在,但仍然是未知的。”這個定義指出了對應關係(條件)的必要性,利用這個關係,可以來求出每一個x的對應值。
1837年,德國數學家狄裏克雷認爲怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的,所以他的定義是:“如果對於x的每一個值,y總有一個完全確定的值與之對應,則y是x的函數。”這個定義抓住了概念的本質屬性,變量y稱爲x的函數,只須有一個法則存在,使得這個函數取值範圍中的每一個值,有一個確定的y值和它對應就行了,不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。這個定義比前面的定義帶有普遍性,爲理論研究和實際應用提供了方便。因此,這個定義曾被比較長期的使用着。
自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受後,用集合對應關係來定義函數概念就是現在高中課本里用的了。
中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》(1895年)一書時,把“function”譯成“函數”的。
中國古代“函”字與“含”字通用,都有着“包含”的意思。李善蘭給出的定義是:“凡式中含天,爲天之函數。”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量。這個定義的含義是:“凡是公式中含有變量x,則該式子叫做x的函數。”所以“函數”是指公式裏含有變量的意思。
我們可以預計到,關於函數的爭論、研究、發展、拓廣將不會完結,也正是這些影響着數學及其相鄰學科的發展。
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