《質數與合數》的課堂教學實錄

師：(電腦出示三個同樣的小正方形)每個正方形的邊長爲1，用這樣的三個正方形拼成一個長方形，你能拼出幾個不同的長方形?

學生獨立思考--

生1：我能拼出兩個長方形。

師：說說是怎樣的兩個長方形。

生1：是橫着的一個，還有豎着的一個。

師：橫着的這個長方形的長是幾?寬是幾?

生1：長是3、寬是1。

師：還有一個呢?

生1：還有一個長方形的長也是3、寬也是1。

學生中發出啊的聲音，以表示不同意這種說法。有些學生幫助糾正說長是1、寬是3。

師：這無關緊要，反正長方形相鄰的兩條邊，一條叫長，另一條就叫寬。

師：同學們，這兩個長方形實質上是怎樣的?

生：實質上是同樣的長方形，只是放的位置不同。一個是橫着放，另一個是豎着放。

師：是呀，我覺得還可以斜着放。其實，我們只能拼出一個長方形，它的長是3、寬是（電腦演示：將三個同樣的正方形拼成一個長方形，接着出示了四個同樣的小正方形。）

師：這樣的四個小正方形能拼出幾個不同的長方形?

學生各自獨立思考、想像後舉手回答。

生1：一個。

師：也只能拼出一個？請說出該長方形的長和寬。

生1：長方形的寬是1、長是4。

生2：我認爲還有一個，它的四邊都是2。(話音剛落，學生中議論開了--)

生3：他說的是正方形，我認爲是對的。因爲正方形是特殊的長方形。

師：正方形也屬於長方形，是一種特殊的長方形，所以，用4個同樣的小正方形可以拼出幾個不同的長方形?(結合學生回答，電腦演示出拼成的兩個長方形。)

師：同學們再想一下，如果有12個小正方形，你能拼出幾個不同的長方形?

【學生獨立思考着，過了一會兒，有學生在紙上畫了起來，漸漸地，越來越多的學生也拿出筆在紙上畫了起來，這是我未曾想到的。但爲了尊重學生自己的思維方式，我給出一定的時間讓他們畫。但是，我又不能讓學生將大量的時間花在畫出所有不同的長方形上面。因爲引導學生進行空間想像及利用長方形面積計算方法進行數學地思考，促進思維的深入發展，這纔是更加重要的。於是，我就進行教學調控。】

師：我看到許多同學不用畫就已經知道了。

【我說這話的目的既起暗示作用--暗示學生不需將各個不同的長方形一一畫出，也有辦法知道能拼出幾個不同的長方形；又起導向作用，讓學生思考其他的方法或策略。我這話還真見效，一些學生立即停筆思考，很快有許多學生積極地舉着手。】

生1：能拼出三個不同的長方形。

師：是怎樣的三個呢?

生1：長是12、寬是1的，還有長是6、寬是2的和長是4，寬是3的三個不同的長方形。

師：你們能想像出拼成的這些長方形嗎?

生2：第一種是把這12個正方形擺成了1排；第二種是每排6個，擺2排；第三種是每排4個，擺3排。

師：同學們，如果給出的正方形的個數越多，那拼出的不同的長方形的個數--，你覺得會怎麼樣?

學生幾乎是異口同聲地說：會越多--

師：(裝作沒聽清楚)給出的正方形的個數越多，拼出的長方形的個數，你們是說--(同學們清楚又響亮地回答越多。)

【此時，教師一聲不吭，保持着沉默。課堂一下子沉靜了下來。此時無聲勝有聲。同學們認真地思考着又過了一會，學生間開始有點騷動，漸漸地，一些學生高舉着手--】

生1：不一定的。

師：(故意重複)他說不一定，對嗎?

其他一些學生更加堅定而響亮地回答對!。

師：說話得要有根據呀!

學生的情緒更加激動--

生：剛纔四個正方形能排出兩個，如果用5個正方形只能排出1個。如果用潘老師的說法，5個正方形排出的不同的長方形應該不止兩個，所以，這話是錯的。

師：同學們聽明白嗎，他說得好不好?(學生回答好!)

師：我覺得他說得還不太好，他說潘老師說的，我什麼時候說過小正方形個數越多，拼出的長方形的個數也越多這話，這可是你們說的呀。不過，你們覺得剛纔這位同學舉的例子好不好?

生：好!

師：一個例子就把你們剛纔的結論給否定了。多有說服力的反例!

師：同學們，用小正方形拼長方形，有時只能拼出一種，有時拼出的長方形不止一種。你覺得當小正方形的個數是什麼數的時候，只能拼一種?

學生思考着，之後，相互之間展開了熱烈的討論。

生1：我覺得當小正方形的個數是奇數--(還沒待該生說完，有些學生便忍不住地打斷他的發言。)

師：慢!尊重人家，讓人家把話說完。

生1：是奇數的時候。

師：我們首先要學會尊重別人，傾聽別人的發言，然後對他人的言作出自己的思考，有不同意見的再與他人進行討論。

生2：我有反對意見。我想問，9是什麼數?用9個小正方形能排出幾個長方形?

生1：9是奇數，用9個小正形能排出兩個長方形。我知道了，當個數是奇數時，也不一定只能擺出一個長方形。

師：那該是什麼數的時候呢?

生3：如果小正方形的個數在除法裏只能被1整除的話，這些小正方形只能拼出一個長方形。例如是一個小正方形。

師：用一個小正方形怎麼去拼呢?

生4：那零呢?零是可以被任何數整除的。

師：他說的是那個數能被1整除。

生4：但是，零可以被任何數整除呀，也能被1整除的。

師：噢--，我明白了。你的意思是零也能被1整除，那麼零個正方形你怎麼拼呢?

生5：我想問前一位同學，你能找出只能被1整除的數嗎?

生3：43。

生5：43還能被43整除。

師：是呀，43能被1整除，還能被43本身整除。

生5：我認爲，這個數只能被1和它自己本身整除。

師：我們一起來舉些例子，檢驗她這話說得對不對?

學生舉例：3、13、7、5、11

生：還有1。

師：只有1個正方形就不用拼了。

同學們同意地點着頭。

師：我們發現表示正方形個數的數只能被1和它本身整除的時候，只能拼成一個長方形。什麼情況下拼得的長方形不止一種?

學生舉例：4、6、8、9、10、12、14、15

師：說得完嗎?

生：說不完。

師：那麼，應該怎樣回答這個問題呢?(一些學生髮出無奈的嘆氣聲：啊--)這些數有什麼共同的特徵?

生1：這些數中，第二個、第三個每次都比前一個數增加2，然後第四個增加1，後面又每次增加2(話沒說完，一些學生呀--地表示不同意。)

生2：我覺得這些數都能被兩個以上的數整除。

師：這些數都能被兩個以上的數整除，你能結合例子說具體點嗎?

生2：4能被1、4整除，還能被2整除；6能被1、6整除，還能被2、3整除；8能被1、8整除，還能被2、4整除；9

您現在正在閱讀的《質數與合數》課堂教學實錄—特級教師潘小明文章內容由收集!本站將爲您提供更多的精品教學資源!《質數與合數》課堂教學實錄—特級教師潘小明能被1、9整除，還能被3整除。

師：這些數有着共同的特點，那就是它們除了能被1和它本身整除外，還能--

生：還能被別的數整除。

師：同學們，像上面這些數(指前面板書的3、13、7、5、11等數)，在數學上我們把它們叫做質數，下面的這些數(4、6、8、9、10、12、14、15等數)我們把它們叫做合數。什麼樣的數叫質數，什麼樣的數叫合數?

學生獨立思考後，在小組內進行交流，然後再全班交流。

生1：質數就是隻能被1和它本身整除，合數是能被兩個以上的數整除。

生2：我們小組在討論了質數與合數後，還討論了一個零。零到底是質數還是合數?我們認爲是合數。

師：(笑着)這個零的問題，我們待會兒再說，好嗎?

師：現在看來，大多數同學的意見是這樣的，質數只能被1和它本身整除，而合數除了能被1和它本身整除外，還能被別的數整除。一個數能被1整除，說明1是它的--約數，能被它本身整除，說明它本身也是它的約數。

結合學生回答，教師板書：（略）

接着，讓學生判斷哪些數是質數，哪些數是合數

生1：17是質數。

師：爲什麼?

生1：因爲它只能被1和它本身整除。

師：嗯--，能不能運用概念進行回答?

生1：因爲17的約數只有1和它本身，沒有別的約數，所以，17是質數。

師：對!運用概念去判斷。

生2：我覺得21是合數，因爲它的約數有1和它本身，還有3和7。

師：對!它的約數除了1和它本身外，還有別的約數3和7。

生3：29是質數。

生4：我覺得48是合數，因爲它的約數除了1和它本身外，還有別的約數，譬如說24、2都是它的約數，所以它是合數。

有一些學生認爲她的回答不完整。

師：有人說她的回答不完整，那誰能回答得完整?

生5：我認爲，48的約數除了1和它本身外，還有2和24、12和4。

師：看來你的回答也不完整。

這時，其他學生補充說，還有3和16、4和12、6和8。

生6：我有一個問題，剛纔說的是例如，他並沒有說全部的約數。

師：那你說，要不要說出全部的約數?

生6：不用的!只要說出一至兩個就夠了。

師：一至兩個，到底是說出兩個還是說出一個就夠了?(許多學生齊聲回答一個)

師：同學，你同意嗎?

生5：同意。

師：其實，剛纔那位同學已經回答得非常好了，而這位同學的解釋也很有道理。你要說48是合數的話，它的約數除了1和48外，還有--，這還有我只要舉幾個?

生：一個。

師：對!管它還有幾個，我只要舉出一個，就足以說明它是一個合數。(教師在剛纔板書的質數、合數的定義中的沒有與還有下面打上着重號。)

接着繼續進行判斷。當電腦慢慢地顯示出217813時，一些學生髮出噢--的驚奇聲，稍頓，電腦又顯示出該數的最後一個數字5，此時，寂靜的教室又熱鬧了起來，一些學生積極地舉手爭取發言--

生1： 是個質數。(話剛出口，其他學生異口同聲地啊--)

師：你能說說理由嗎?

生1：它的約數除了1和它本身外，沒有別的約數。

師：如果真的沒有別的約數，那麼這個數就是質數。不過--，這個數到底還有沒有別的約數?你再思考一，好嗎? 生2：根據我們上學期學的能被5整除的數的特徵，我們知道個位上是0或5的數能被5整除，所以，這個數有別的約數5，它是合數。

師：你們覺得他回答得怎麼樣?

生：好!

師：你們說的好--很不具體，能不能說出到底好在哪裏?

生3：我覺得他好在能運用上學期學的知識和現在學的概念來分辨一個數是質數還是合數。

師：你們覺得他回答得好不好?(學生響亮地回答好!)

師：他好在哪裏?(同學們及聽課的老師會意地笑了起來。)是呀--他能自覺運用我們已經學過的能被2、5、3整除的數的特徵等知識來回答今天的問題，這就好!

接着，電腦屏幕上又漸漸地顯示出10000032，同學們激動地說是合數。

師：這麼大的數，同學們都能迅速作出正確的判斷，小的數更不在話下，對嗎?

成功的喜悅洋溢在同學們的臉上，大家非常自信地回答對!這時，教師隨手板書1，許多學生都笑了起來。

師：請同學們人人發表自己的意見。你認爲1是質數就打手勢1，認爲1不是質數就用手勢2表示。

大家作出了思考，隨着教師的一聲口令，同學們都打出了手勢。結果，班上只有5個學生認爲1不是質數，其餘學生都認爲1是質數。

師：同學們，你能說出選擇的理由嗎?

大家非常有自信地回答能!

生1：1能被1整除，1還能被它本身整除，沒有別的'約數，所以1是質數。

生2：他說1只能被1整除，那麼，我想問1除以43呢?

教師提醒，１能被４３整除嗎？該生馬上發現了自己的錯誤。課後教師瞭解到，生２認爲１除了整除它本身，還能整除任何一個自然數，但舉例時卻說成１除以４３。同學們也馬上發現了問題，提醒道是整除。

生3：那我想問你--

師：你想問潘老師?

生3：是的。

師：好呀，問潘老師，當然可以。請問吧!

生3：它的規定上面沒有說要整除。

許多學生在提醒該生是約數。

師：噢，你說什麼是約數?

生3：在整除的情況下，除數是被除數的約數。

師：對呀，那你說規定上還要寫明是整除嗎?(該生也點着頭，滿意地坐下。)

生4：我繼續有反對意見!那零呢?

該生話剛說出口，其他的同學一起向他指出零不可以作除數。

師：零能被1整除，零能被100整除--

生5：(教師的話還沒有說完)零還能被它本身整除。

一石激起千層浪。

生6：1除以零呢?我認爲零是不能作爲除數的，因爲零乘以任何數不會等於1的。零作除數是沒有意義的。

師：同學們的討論是很不錯的。對於1是不是質數，大家都在從概念出發進行判斷。有的同學認爲1是質數，也有的認爲1不是質數，在認爲1不是質數的人中間，還有一個人，他是誰啊?

教師舉着手在問大家，同學們卻轉頭相互看着，終於有學生說着是老師。

師：我告訴你們，這1確實不是質數!

同學們懷疑地發出啊的聲音，有的學生補充着也不是合數。

師：(肯定地)對!1也不是合數。

生7：我想問你，1是什麼數?(有些學生回答說1是自然數)

師：(承接着)1是自然數唄。可是，1好像是符合質數的條件的，爲什麼說1不是質數呢?

【學生中既然對此存有疑問，有必要討論一下，不宜教師一錘定音。】

生8：因爲1和它本身是一個數。

師：

您現在正在閱讀的《質數與合數》課堂教學實錄—特級教師潘小明文章內容由收集!本站將爲您提供更多的精品教學資源!《質數與合數》課堂教學實錄—特級教師潘小明是呀，1是1的約數，它本身也是1的約數。同學們，問題到底在哪裏?

一些學生竊竊議論着，可能是概念有問題。

生：可能是編書的老師編錯了。

師：有可能是編書的編錯了，編書的老師今天也在。(大家哈哈大笑了起來)

師：那怎樣說，才能說明1不是質數呢?

生9：當1和它本身是相同的時候，這個數就不是質數。

師：也就是說1只有1個約數，它不是質數。那麼，質數的約數應該是幾個呢?

生10：是兩個約數。

結合學生的回答，教師在前面板書的一個數除了1和它本身後插入兩個約數。

【這樣的定義雖然與課本上的敘述不盡相同，但確實表明學生已經理解質數的概念了。】

師：現在運用這個概念，同學們你們能判斷嗎?

學生回答1不是質數也不是合數。

生：零是什麼數?

師：零肯定不是質數。這零的問題，我們以後再好好地研究，好嗎?

【對於學生提出零是什麼數的問題，我首先想到的是要保護學生敢於質疑的積極性，同時又考慮到數的整除是在非零自然數範圍內學習的，爲此，與學生商量着以後再好好研究。】

電腦出示：73。學生在思考着它是不是質數。

師：要想馬上知道73是什麼數還真不容易。如果有質數表可查就方便了。(同學們都說是呀。)

師：這表從哪來?

一個學生舉起一張課前印發的紙，高興地說質數表在這兒。

師：這上面是1到100這１００個數。（一些學生大聲地說９９個數）它不是質數表。

師：對!因爲1既不是質數，也不是合數，所以我把它丟了。你們怎樣找出100以內的質數，製成質數表?[見附表(略)]

【對於製作100以內的質數表，我認爲用什麼樣的方法去製表，要比單純地找出這些質數更爲重要，因爲它能夠讓學生在製表的過程中，學習數學的思想方法。所以，在上課之前，我將原來印有的把質數留下，其他的數劃去的要求刪除。這樣，同學們就不是機械地按教師的指令操作，而是從自己的實際出發自由地展開思維。】

師：剛纔，我們的有些同學接受任務後，馬上就去找。要是我，我可不急於去找，而是想想用什麼方法去找。說說你們是怎樣找的。

生1：我是按照質數的概念一個一個地進行判斷，是質數的用一種符號表示，是合數的用另一種符號表示。

生2：我是將質數用符號表示出來，剩下的數劃去。

師：(若有所思地)把質數留下，其他的數去掉，這--，古代數學家就是用這種篩選的方法制作質數表的。我們都來篩吧！

接着，學生各自用篩選的方法在製作質數表。在學生進行了一段時間的實踐後，由學生進行介紹。結果，大多數的學生是用逐個數判斷的辦法篩選出質數的。

師：怎樣篩選得更快?

生1：我先把偶數都劃掉。

話沒說完，許多隻手舉得高高，一些學生急不可待地說着不對!2不能劃去。

師：同學們，你們應該讓人把話說完，再發表你的意見，對嗎?

生1：我剛纔說錯了。應該把2留下，因爲2是質數，把2以外的其他偶數都劃去；接着把3留下，其他的3的倍數都劃去；把5留下，其他的5的倍數都劃去；把7留下，其他的7的倍數都劃去

此時，同學們一起回答着把11留下，其他的11的倍數都劃去

師：表中11的倍數是哪些呢?你能說出幾個嗎?

同學們在列舉着，從中發現22、33、44、55、66、77、88、99等在前面都已經劃去了。

師：再看看，表中還有要劃去的數嗎?

學生自己發現了規律，高興地說不用再劃下去了。

生4：我有更快的方法，第一列留2，其他都劃去；第二列留3，其他都劃去；第三列都劃去；第五列都劃去；再接下去，只要在第四列和第六列中去找質數。（這時下課的鈴聲響了。）

生5：我發現，除了2和3兩個質數外，其他的質數都在第四或第六列中。

師：第五列的數有什麼特點?

生6：它們都能被6整除，是6的倍數。

生7：我知道2、3以外的質數比6的倍數少1或比6的倍數大1。

生8：我發現1到20的數中有8個質數，可80到100的數中只有3個質數，以後的質數會不會越來越少?質數的個數是不是有限的?

師：同學們善於觀察、肯於動腦、敢於提問，太好了。關於質數與合數的學問多着呢!你們聽說過數學皇冠上的明珠--哥德巴赫猜想嗎?若感興趣，就上網去吧。

同學們的好奇心油然而生，儘管下課的鈴聲已響過，可大家仍沉浸在數學的夢幻之中

附表：（略）

編後記 筆者3月25日在寶山區實驗國小現場聽了這一堂課。感受最深的一點是老師的真情投入，師生心靈間的交流與感應，調動起學生的興趣，激發出生的創造力，使學生的學習體驗和效率成倍提高。感人心者，莫先乎情，情迫則思深矣。