是否可以憑藉失業證到新單位辦理入職手續？

我去年離職，然後到社區辦理了失業證和個人繳納社保事宜，後來去一家單位上班，向對方提供了原單位的`離職證明。但是一直沒辦理轉爲單位繳納社保，還是個人交。現在，我想去新的一家公司，但是，上一家公司以各種理由推脫不願意給我辦理離職證明，我想問一下：我是否可以憑藉失業證到新單位辦理入職手續？就是按照先前是失業狀態辦理，省去了要求上一家單位開具離職證明的麻煩。請明白的人士指點，不勝感激！