高中數學指數函數及其性質優秀教案設計

導語：本節課的教學目標是理解指數函數的定義,初步掌握指數函數的定義域，值域及其奇偶性.以下是本站小編整理的高中數學指數函數及其性質優秀教案設計，歡迎閱讀參考！

高中數學指數函數及其性質優秀教案設計

教學目標：

1、知識目標：使學生理解指數函數的定義，初步掌握指數函數的圖像和性質。

2、能力目標：通過定義的引入，圖像特徵的觀察、發現過程使學生懂得理論與實踐 的辯證關係，適時滲透分類討論的數學思想，培養學生的探索發現能力和分析問題、解決問題的能力。

3、情感目標：通過學生的參與過程，培養他們手腦並用、多思勤練的良好學習習慣和勇於探索、鍥而不捨的治學精神。

教學重點、難點：

1、 重點：指數函數的圖像和性質

2、 難點：底數 a 的變化對函數性質的影響，突破難點的關鍵是利用多媒體

動感顯示，通過顏色的區別，加深其感性認識。

教學方法：引導——發現教學法、比較法、討論法

教學過程：

一、事例引入

T：上節課我們學習了指數的運算性質，今天我們來學習與指數有關的函數。什麼是函數?

S： --------

T：主要是體現兩個變量的關係。我們來考慮一個與醫學有關的例子：大家對“非典”應該並不陌生，它與其它的傳染病一樣，有一定的潛伏期，這段時間裏病原體在機體內不斷地繁殖，病原體的繁殖方式有很多種，分裂就是其中的一種。我們來看一種球菌的分裂過程：

C：動畫演示(某種球菌分裂時，由1分裂成2個，2個分裂成4個，------。一個這樣的球菌分裂x次後,得到的球菌的個數y與x的函數關係式是： y = 2 x )

S，T：(討論) 這是球菌個數 y 關於分裂次數 x 的函數，該函數是什麼樣的形式(指數形式)，

從 函數特徵分析：底數 2 是一個不等於 1 的正數，是常量，而指數 x 卻是變量，我們稱這種函數爲指數函數——點題。

二、指數函數的定義

C：定義： 函數 y = a x (a>0且a≠1)叫做指數函數， x∈R.。

問題 1：爲何要規定 a > 0 且 a ≠1?

S：(討論)

C： (1)當 a <0 時，a x 有時會沒有意義，如 a=?3 時，當x= 就沒有意義;

(2)當 a=0時，a x 有時會沒有意義，如x= - 2時，

(3)當 a = 1 時， 函數值 y 恆等於1，沒有研究的必要。

鞏固練習1：

下列函數哪一項是指數函數( )

A、 y=x 2 B、y=2x 2 C、y= 2 x D、y= -2 x

二、函數圖像的畫法：

T：引入了指數函數的概念，有了函數的定義域之後，就應該研究函數的圖像了。根據底數a 的規定，考慮兩個特定底的指數函數 y = 2x， y = 的圖像。

S作圖，再投影;後演示動畫比較

三、指數函數的圖像和性質

C：(演示畫圖過程)(列表、描點、連線)

觀察思考：(討論)

C：問題 2：兩個函數圖像有什麼共同點 ?又有何不同特徵?

T：兩個圖像有何共同特點?

S：它們的圖像都在x軸的上方，且都過同一個點(0，1)。

T：圖像在x軸上方說明y>0，向下與x軸無限接近;過點(0，1)說明x=0時，y=1。

T：再看看它們有何不同之處?

S：當底數爲2時圖像上升，當底數爲 時，函數圖像下降。

T：說明當a=2即大於a>1時函數在R上爲增函數，當a= 即大於0小於1時函數在R上爲減函數

T：除此之外，還有什麼特徵?(S：------------)若在座標系上畫一條直線y=1?

S：當底數是2時，落在第一象限的圖像都在直線y=1的上邊，落在第二象限的圖像都在直線y=1的下邊，當底數是 時恰好相反。

說明--------

C：性質：

	a>1	0<a<1
圖 象
圖 像 特 徵	圖像分佈在一、二象限，與軸相交，落在軸的上方。
	都過點（0，1）
	第一象限的點的縱座標都大於1；第二象限的點的縱座標都大於0且小於1。			第一象限的點的縱座標都大於0且小於1；第二象限的點的縱座標都大於1。
	從左向右圖像逐漸上升。			從左向右圖像逐漸下降。
性 質	(1)定義域：R
	（2）值域：（0，+∞）
	（3）過定點（0，1），即x=0時，y=1
	(4)x>0時，y>1;x<0時，0<y<1		(4)x>0時，0<y<1;x<0時，y>1.
	（5）在 R上是增函數		（5）在R上是減函數

T： 問題 3：影響函數圖像特徵的`主要因素是什麼?

S：-------

四、例題示範

C：1、某種放射性物質不斷變化爲其它物質，每經過 1 年剩留的這種物質是原來的84?。畫出這種物質的剩留量隨時間變化的圖象，並從圖象上求出經過多少年，剩留量是原來的一半(結果保留一個有效數字)。

同學做，後投影學生解答，進行分析;(好中差各一份)

T：①兩個“原來的”的區別;②函數定義域的範圍;③結果是一近似值。

C： 2、求下列函數的定義域：

(1) (2)

T：分析：(1)只要指數位置上的 有意義，則原函數有意義。

(2)只要指數位置上的 有意義，則原函數有意義。

C：解：(1)由 有意義得x ≠ 0，又 ≠ 0 ，∴ ∴ 原函數的定義域爲 {x| x∈R且 x ≠ 0}。

(2)由 有意義，得 2 x - 1 ≥　0 即 x ≥ ,又 ∴原函數定義域爲{x | x ≥ }。

五、目標訓練

1、當 a ∈____________時，函數 y = ax(a > 0 且 a ≠1 ) 爲增函數, 這時,當 x ∈________________時, y > 1。

2、若函數f(x)=( 2a + 1 ) x 是減函數,則a的取值範圍是________________________。

3、函數 y = 的定義域是______________。

六、歸納小結

C： 1、本節課的主要內容是：指數函數的定義、圖像和性質

2、本節學習的重點是：掌握指數函數的圖像和性質

3、學習的關鍵是：弄清楚底數 a 的變化對於函數值變化的影響。只有徹底弄清並掌握了指數函數的圖像和性質，才能靈活運用性質解決實際問題。

七、佈置作業

x

x

x

x

高中數學指數函數及其性質優秀教案設計

一、教學類型

新知課

二、教學目標

1. 理解指數函數的定義,初步掌握指數函數的定義域，值域及其奇偶性.

2. 通過對指數函數的研究,使學生能把握函數研究的基本方法,激發學生的學習興趣.

三、教學重點和難點

重點是理解指數函數的定義,把握圖象和性質.

難點是認識底數對函數值影響的認識.

四、教學用具

投影儀

五、教學方法

啓發討論研究式

六、教學過程

1) 引入新課

我們前面學習了指數運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類新的常見函數-------指數函數.

指數函數(板書)

這類函數之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:

問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 次後,得到的細胞分裂的個數

與 之間,構成一個函數關係,能

寫出 與

之間的函數關係式嗎?

由學生回答:

與 之間的關係式,可以表示爲

.

問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩餘繩子的一半,……剪了 次後繩子剩餘的長度爲

米,試寫出

與 之間的函數關

系.

由學生回答:

.

在以上兩個實例中我們可以看到這兩個函數與我們前面研究的函數有所區別,從形式上冪的形式,且自變量 均在指數的位置上,那麼就把形如這樣的函數稱爲

指數函數.

2)指數函數的概念(板書)

1.定義:形如

的函數稱爲指數函數.(板書)

教師在給出定義之後再對定義作幾點說明.

2.幾點說明 (板書)

(1) 關於對 的規定:

教師首先提出問題:爲什麼要規定底數大於0且不等於1呢?(若學生感到有困難,可將問題分解爲若

會有什麼問題?如

,此時

,

等在實數範圍內相應的函數值不存在.

若

對於

都無意義,若

則

無論 取何值,它總是1,對

且

. 它沒有研究的必要.爲了避免上述各種情況的發生,所以規定

(2)關於指數函數的定義域 (板書)

教師引導學生回顧指數範圍,發現指數可以取有理數.此時教師可指出,其實當指數爲無理數時,

也是一個確定的實數,對於無理指數冪,學過的有理指數

冪的性質和運算法則它都適用,所以將指數範圍擴充爲實數範圍,所以指數函數的定義域爲

.擴充的另一個原因是因爲使她它更具代表更有應用價值.

(3)關於是否是指數函數的判斷(板書)

剛纔分別認識了指數函數中底數,指數的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據定義我們知道什麼樣的函數是指數函數,請看下面函數是否是指數函數.

(1)

, (2)

, (3)

(4)

, (5)

.

學生回答並說明理由,教師根據情況作點評,指出只有(1)和(3)是指數函數,其中(3) 可以寫成

,也是指數圖象.

最後提醒學生指數函數的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然後把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函數的性質,此時研究的關鍵在於畫出它的圖象,再細緻歸納性質.

3.歸納性質

作圖的用什麼方法.用列表描點發現,教師準備明確性質,再由學生回答.

函數

1.定義域 :

2.值域:

3.奇偶性 :既不是奇函數也不是偶函數

4.截距:在 軸上沒有,在

軸上爲1.

對於性質1和2可以兩條合在一起說,並追問起什麼作用.(確定圖象存在的大致位置)對第3條還應會證明.對於單調性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最後一條也是指導函數圖象畫圖的依據.(圖象位於 軸上方,且與 軸不相交.)

在此基礎上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學生由於不具備對稱性,故 的值應有正有負,且由於單調性不清,所取點的個數不能太少.

此處教師可利用計算機列表描點,給出十組數據,而學生自己列表描點,至少六組數據.連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢(當 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快),並連出光滑曲線.

七、思考問題，設置懸念

我們已學習了指數函數的定義與有關性質，能否自己給出其圖像呢?其圖像有何性質?請學生自己下去思考，這就是我們下一節所要學習的。

作業：習題1、2、3

八、小結

指數函數的概念、定義域、值域、奇偶性