寧波小升中數論知識點總結
質數、質因數和互質數這三個術語的概念極易混淆,因爲它們都有“質”和“數”兩個字。正確地區分這幾個概念,對掌握數的整除性這部分基礎知識,有着極其重要的意義。
(1)質數:一個自然數,如果只有1和它本身兩個約數,這個數叫做質數(也稱素數)。
例如:
1的約數有:1;
2的約數有:1,2;
3的約數有:1,3;
4的約數有:1,2,4;
6的約數有:1,2,3,6;
7的約數有:1,7;
12的'約數有:1,2,3,4,6,12;
……
從上面各數的約數個數中可以看到:一個自然數的約數個數有三種情況:
①只有一個約數的,如1。因此,1不是質數,也不是合數。
②只有兩個約數的(1和它本身),如2,3,7……
③有兩個以上約數的,如4,6,12……
屬於第②種情況的,叫做質數。屬於第③種情況的,即:除了1和本身以外,還有別的約數,這樣的數叫做合數。
(2)質因數:一般地說,一個數的因數是質數,就叫做這個數的質因數。
例如:18=2×3×3
這裏的2、3、3都是18的因數,而2和3本身又都是質數,於是我們就把2、3、3叫做18的質因數。這裏需要注意的是:18也可以寫成3與6的乘積,即:18=3×6,無疑3和6都是18的因數,但3本身是質數,可以稱做18的質因數,而6是合數,則不能稱做18的質因數。
(3)互質數:兩個或幾個自然數,當它們的最大公約數是1的時候,這兩個或幾個數,就叫做互質數(也叫互素數)。
例如:5和7,4和11,8和9,7、11和15,12、20和35……。
上述這幾組數,它們的最大公約數都是1,因此,它們都是互質數。在以上兩個互質數中,如7、11和15這三個數,7和11是互質數,11和15是互質數,7和15也是互質數。這類情況,我們就叫做這三個數“兩兩互質”。但12、20和35這組數中,雖然它們也是互質數,但不是兩兩互質,因爲12和35是互質數,至於12和20、20和35都不是互質數。
需要注意的是:不管兩個數互質或者兩個的數以上互質,這些數本身卻不一定是質數,如5和7是互質數,它們本身都是質數;4和11是互質數,其中4並不是質數;8和9是互質數,但8和9本身都不是質數。
總之,質數是指一個數。譬如說:“2是質數,11是質數”等等。質因數雖然也是指一個數,但是它是針對另一個數而說的。譬如說:“5是35的質因數。”如果離開35,孤立地說:“5是質因數。”則是不妥當的。因此,質因數具有雙重身份:第一必須是個質數;第二必須是另一個數的因數。
互質數同質數、質因數都不同,它不是指一個數,而是指除了1以外,再沒有其他公約數的兩個或兩個以上的數。
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