一元二次方程教學案例反思

一、教材分析

本節課是人民教育出版社義務教育課程標準實驗教科書（六三學制）九年級上冊第二十二章第一節一元二次方程．

二、教學內容

1．一元二次方程的概念和一元二次方程的一般式及有關概念；

2．一元二次方程根的概念；

3．根據題意判定一個數是否是一元二次方程的根及其利用它們解決一些具體問題．

三、教學目標

1．數學思考：通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定義；

2．知識目標：一元二次方程的一般形式 及其有關概念；

3．解決問題：解決一些概念性的題目；

4．解決問題：瞭解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題；

5．情感態度目標：通過生活學習數學，並用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情．

四、教學重點

1．一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念並用這些概念解決問題；

2．判定一個數是否是一元二次方程的根．

五、教學難點

1．通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念知識遷移到一元二次方程的概念；

2．由實際問題列出的一元二次方程解出根後還要考慮這些根是否確定是實際問題的根．

六、教學方法

引導發現法、討論法．

七、教具、學具

教具：計算機多媒體課件；

學具：三角板．

八、教學媒體

大屏幕．

九、教學過程

Ⅰ、情景引入，設疑激思

師：我們之前已經學習了列方程解應用題，並且大家也培養了一定了分析問題解決問題的能力，現在我們看下面兩個問題大家能不能分析解決．

問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然後將四周突出的部分折起，就能製作一個無蓋方盒．如果要製作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那麼鐵皮各角應切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應該邀請多少個隊參賽？

教師演示課件，給出題目．

學生根據所學知識，通過分析設出合適的未知數，列出方程回答問題．

（幾分鐘後）

師：大家考慮好了嗎？做的怎麼樣？

生：（齊聲）好了．

師：很好！那麼對於問題1誰來說一說解題思路？

（學生齊舉手，老師點名）

生甲：設切去的正方形的邊長爲 cm，則盒底的長爲 cm，寬爲 cm. 根據要製作的方盒的底面積爲3600 cm2，得

整理，得

化簡，得

師：很棒！有同學有異議的嗎？

生：（齊聲）沒有．

師：好，那我們先標記上式爲①式．接着我們看問題2，有同學整理出解題思路了嗎？誰來說一說？與大家交流一下．

（大部分學生舉手，明顯沒有問題1舉手的同學多）

師：沒關係，暫時還沒有想出來的同學，我們來聽聽其他同學的想法看有沒有道理，能不能給自己一些提示．

生乙：根據題意可得全部比賽的場數爲 設應邀請 個隊參賽，每個隊要與其他 個隊各賽1場，由於甲隊對乙隊的比賽與乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共 場．

於是，

整理化簡，得

師：非常棒！大家說他說的對嗎？

生：（齊聲）對！

師：好，那我們標記上式爲②式．現在我給大家幾分鐘的時間再回過頭來理解一下這個題目是不是真的弄明白了，然後再請大家考慮以下幾個問題：

（教師演示課件，給出問題）

（1）上面兩式整理後各含幾個未知數？

（2）按照整式中多項式的規定，它們最高次數是幾次？

（3）這兩個式子含等號嗎？還是與以前多項式一樣只有式子？

由實際問題入手，設置情境問題，激發學生的興趣，讓學生初步感受一元二次方程，同時讓學生體會方程這一刻畫現實世界的數學模型．

Ⅱ、探索新知，引申思考

（一）、一元二次方程的概念

學生活動：請口答上面提出的問題．

（學生齊答後）

老師點評：（1）都只含一個未知數 ；

（2）它們的最高次數都是2次的；

（3）都有等號，是方程．

師：因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關於 的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：

．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

注意：若 ，則方程 變爲 ，這個方程爲一元一次方程，當然就不能稱爲一元二次方程．

一個一元二次方程經過整理化成 後，其中 是二次項， 是二次項係數； 是一次項， 是一次項係數； 是常數項．

通過具體事例，探索一元二次方程的定義及其相關概念．同時聯繫到一元一次方程，運用知識的遷移讓這部分內容顯得更爲簡單，便於理解．

師：以上我們一起學習了一元二次方程的相關概念，現在請大家展示一下自己的學習成果，試做下列幾個題目．

學生自主解決問題，通過去括號、移項等步驟把方程化爲一般形式，然後指出各項係數．

教師活動：

在下面巡視學生做的情況，在學生指出各項係數的環節中，分析可能出現的問題（比如係數的符號問題）．最後板演規範的做題格式，培養學生良好的解題習慣．

例1．將方程 化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、一次項係數及常數項．

（師板演）解：去括號得

移項，合併同類項，得一元二次方程的一般形式

其中二次項係數是3，一次項係數是－8，常數項是－10．

進一步鞏固一元二次方程的基本概念．

例2． 將方程 化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項、二次項係數；一次項、一次項係數；常數項．

（學生活動：請兩至三位同學上臺演練；教師活動：觀察學生做的效果，及時糾錯，提醒學生運算要細心）

分析：通過完全平方公式和平方差公式把 化成 的形式．

解：去括號，得：

移項，合併得：

其中：二次項爲 ，二次項係數爲2；一次項爲 ，一次項係數爲2；常數項爲 ．

（二）、一元二次方程根的概念

師：剛剛我們鞏固了一元二次方程的一些基本概念，接下來我們繼續來解決問題，先請同學們猜測一下方程 的解是什麼？

當 時， ；當 時， ，依此類推可以得出下表：

12345678910…

02612203042567290…

學生活動：

學生可以採取多種方法得到方程的解，比如利用上述表格的形式，發現當 時等號成立，於是 是方程的一個解，如此等等．

教師活動：

教師引導學生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎上讓學生進行總結如下：

使一元二次方程等號成立的未知數的取值叫作一元二次方程的解（也叫作一元二次方程的根）．

師：現在請同學們思考這樣一個問題：是否只有 纔是方程 的根呢？換句話說，方程 是否只有 這一個根呢？

事實上，通過觀察探究我們不難發現將 代入方程 ，同學們可以簡單的計算一下等式的左邊 右邊，所以 也是方程 的根．

雖然方程 有兩個根（8和 ），但是對於排球邀請賽問題卻只有一個答案，因爲參賽隊伍數爲正整數，所以應邀請8個隊參賽．

綜上可述，由實際問題列出方程並得出方程的解後，還要考慮這些解是否符合實際情況．

探究一元二次方程根的概念及作用，以及由實際問題列出的一元二次方程解出根後還要考慮這些根是否確定是實際問題的根．

例3． 下面哪些數是方程 的根？

分析：要判定一個數是否是一個一元二次方程的根，只要把其代入等式，看等式是否成立即可．

解：將上面的這些數代入計算後，發現只有 和 滿足方程的等式，所以 和 是一元二次方程 的兩根．

使學生熟悉一元二次方程根的概念，對於給定的數能準確判斷它是否是該一元二次方程的根.

十、反饋練習

1．將方程 化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項、二次項係數；一次項、一次項係數；常數項．

2．你能根據所學過的知識解出下列方程的解嗎？

（1） ； （2）

學生獨立思考、獨立解題．

教師巡視、指導，並選取兩名學生上臺書寫解答過程．

檢查學生對基礎知識的`掌握情況.

十一、應用拓展

師：學習了一元二次方程的基礎知識，我們現在看學生靈活掌握的情況.看下題.

例4． 求證：關於 的方程 ，不論 取何值，該方程都是一元二次方程．

（學生思考後分組討論，結論：解決此問題與一次項的係數無關）

分析：要證明不論 取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明 即可．

證明：

∴ ，即

∴ 不論 取何值，該方程都是一元二次方程．

例5． 要剪一塊麪積爲150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應該怎樣剪？設長爲 cm，則寬爲 cm，列方程 ，即 .

請根據方程回答以下問題：

（1） 可能小於5嗎？可能等於10嗎？說說你的理由．

（2）完成下表：

1011121314151617…

（3）你知道鐵片的長 是多少嗎？

分析：根據實際問題的意義，對於 ，由於不能直接求出，我們可以用列表的方法來求．

解：（1） 不可能小於5．理由：如果 ，則寬 ，不合題意．

不可能等於10．理由：如果 ，則面積 ，也不可能．

（2）

1011121314151617…

-100-84-66-46-2402654

（3）由（2）可得，鐵片長 cm．

教師活動：講解例4、例5，組織學生討論．

學生活動：合作交流，討論解答．

使學生進一步理解一元二次方程的概念，對一元二次方程的根有更加深刻的理解.

十二、歸納小結

師：同學們，今天我們這次課的主要內容就講到這裏.通過課堂教學你們學到了哪些知識？從中得到了什麼啓發？

生：（齊答）（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式 和二次項、二次項係數，一次項、一次項係數，常數項的概念及其它們的運用；

（3）一元二次方程根的概念以及作用.

師：很好！爲了及時鞏固知識，請同學們完成課後習題.

十三、佈置作業

課本P28 複習鞏固2、4 綜合運用5、6、7 拓廣探索8.

十四、教學反思

1、傳統意義上“教”的轉變

本次課我將教師的角色從知識的傳授者轉變爲學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者，在引導學生思考、演練發現結論後，利用知識的遷移深入淺出的講解，激發學生自覺探究數學問題，體驗發現與解決問題的樂趣；

2、傳統意義上“學”的轉變

力求將學生的角色從學會轉變爲會學.這次課學生不是僅僅停留在學會課本知識的層面，而是站在研究者的角度深入其境，探尋知識；

3、課堂教學氛圍的轉變

課堂以“流暢、開放、合作、引導”爲基本特徵，儘量減少對學生思維的干預，教學過程呈現一種比較正面和積極探討的特徵.同學之間師生之間以“交流”、“討論”爲出發點，以團結合作爲手段，以解決問題爲目的，讓學生在一個相對比較寬鬆的環境中自主選擇獲得成功的方向，發現自我價值，同時真正實現德育培養的目標.