簡析2017年的數學向量大學聯考真題

對2017年的向量大學聯考真題進行簡要分析，我們就會發現其中以考查平面向量的線性運算、模、夾角、垂直與平行、基底、數量積這些基礎知識的居多，大約有十多個省市把對向量內容的考查作爲高考試捲上的低中檔題.而從知識交匯點考查思維能力和創新意識的試題有天津卷、陝西卷、湖南卷和安徽卷，這些試題對考生的要求比較高.

對於大學聯考備考，我們一向強調夯實基礎，迴歸課本.能力的提高不可能是空中樓閣，也必須從紮實的基本功中提煉昇華而來.細看向量大學聯考題，不難在課本中找到它們的“影子”.

考查平面向量的線性運算、垂直或平行

例1 （全國新課標卷）設[D，E，F]分別爲[△ABC]的三邊[BC，CA，AB]的中點，則[EB+FC=]（ ）

A. [BC] B. [12AD]

C. [AD] D. [12BC]

解析 [EB+FC=（EC+CB）+（FB+BC）]

原型 這道題直接考查平面向量的線性運算，解題思路中涉及相反向量及平行四邊形加法法則，平行四邊形兩條對角線互相平分等內容.

與此題最接近的是必修4課本第89面的例7：[?ABCD]的兩條對角線相交於點[M]，且[AB=a→，AD=b→]，你能用[a→，b→]表示[MA，MB，MC]和[MD]嗎？

解析 此題的設問是[λ=]？，而題目條件支持我們輕鬆求出向量[a 和 b]的模，因此應該先將條件中的等式變形得到[b=-λaλ∈R]，再運用數乘運算的概念來解決問題：[λ=|b||a|=51=5.]

在2014年大學聯考試題中還多次出現對向量垂直的考查，涉及的試卷有湖北卷、重慶卷和全國大綱卷.

例3 （湖北卷）設向量[a=（3，3）]，[b=（1，-1）]，若[（a+λb）⊥（a-λb）]，則實數[λ] .

解析

[∵a→+λb→=（3+λ，3-λ）， a→-λb→=（3-λ，3+λ），]

由[（a+λb）⊥（a-λb）]知，

[（3+λ）（3-λ）+（3-λ）（3+λ）=0，]

[∴λ=±3.]

考查向量的模和數量積

山東卷比較單純地考查了數量積的概念以及其座標表示.

例4 （山東卷）已知向量[a→=（1，3），b→=（3，m）]. [若向量a→，b→]的夾角爲[π6]，則實數[m=]（ ）

A. [23] B. [3] C. 0 D. [-3]

解析 [由a→?b→=a→?b→cosπ6得，cosπ6=32=a→?b→a→?b→]

[=3+3m2?9+m2，解得m=3.]

原型 難度與必修4課本107面的例6相當.屬於基本難度的考題.

對向量數量積進行考查的還有江蘇卷的第12題.

例6 如圖，在平行四邊形[ABCD]中，已知[AB=8]，[AD=5]，[CP=3PD]，[AP?BP=2]，則[AB?AD]的值是 .

解析 這道題屬於中檔題，已知條件是數量積，求解的'也是數量積. 因此要分析條件和求解向量之間的關係.於是我們產生這樣的想法，[以AB 和AD]爲基底，表示[AP 和BP]，再由已知[AP?BP=2]得到關於[AB?AD]的等式，從而求出結果.

原型 向量的數量積是把向量的長度和三角函數聯繫了起來，爲解決相關的幾何問題提供了方便，是一種重要的思想方法. 因此同學們在複習中應該熟練掌握.比如在必修5正餘弦定理的證明中就用到了向量數量積的方法，使得證明過程簡潔明瞭.

考查平面向量的夾角

[又cosc，a=c?a|c|?|a|]，[cosc，b=c?b|c|?|b|]，

[∴c?a|c|?|a|=c?b|c|?|b|].

又[|b|=2|a|]，[∴2c?a=c?b].

即[2[（m+4）+2（2m+2）]=4（m+4）+2（2m+2），]

[∴m=2.]

解法2 [由a→=5，b→=25，a→?b→=8可得，]

[c→?a→=（ma→+b→）?a→=ma→2+b→?a→=5m+8.]

[c→?b→=（ma→+b→）?b→=ma→?b→+b→2=8m+20.]

[∴5m+85=8m+2025，∴m=2.]

解法3 對於某些向量問題，如果能夠發現其幾何意義，並依據幾何意義解題會使求解過程非常輕鬆.以這道題目爲例.

因爲[c=ma+b]，且[c]與[a]的夾角等於[c]與[b]的夾角，由平行四邊形法則可知，以[ma→和b→]爲鄰邊，[c]爲對角線的平行四邊形是菱形，所以[ma→=b→]，又因爲[a→=5，b→=25，] 所以[m=2].

考查平面向量的基本定理

平面向量基本定理是平面向量正交分解和座標表示的基礎，但有些同學在平時的學習中不夠重視，因此在複習中強化對定理的充分認識和理解是很有必要的.

例8 （福建卷）在下列向量組中，可以把向量[a]=（3，2）表示出來的是（ ）

考查平面向量與其他知識的交匯

數學的系統性決定了數學知識之間必然會存在聯繫.向量與高中數學一些主幹知識，如三角、立體幾何、解析幾何、不等式等都存在着深刻的聯繫.它們之間容易形成知識的綜合或交匯.因此，向量與其它知識交匯自然受到大學聯考命題者的青睞，應該引起重視.

1.平面向量與二次函數交匯

例9 （浙江卷）設[θ]爲兩個非零向量[a]，[b]的夾角，已知對任意實數[t]，[|b+ta|]的最小值爲1，（ ）

A.若[θ]確定，惟[|a|]惟一確定

B.若[θ]確定，惟[|b|]惟一確定

C.若[|a|]確定，惟[θ]惟一確定

D.若[|b|]確定，惟[θ]惟一確定

解析 令二次函數[f（t）=|b+ta|2=|a|2t2+2a?bt+|b|2，]

[∵|a|≠0， |b|≠0， ]

則當[t=-a?b|a|2=-|b|cosθ|a|]時，[f（t）]有最小值爲[|b|2sin2θ，∴|b|2sin2θ=1.]

因此，當[θ]確定時，[|b|]惟一確定.

2.平面向量與三角函數或解析幾何交匯

例10 （湖南卷）在平面直角座標系中，[O]爲原點，[A（-1，0），B（0，3），C（3，0），]動點[D]滿足[|CD|=1，]則[|OA|+OB+OD]的最大值是 .

解法1 由[CD=1]知，點[D]在圓心爲[C（3，0）]，半徑爲1的圓上，

可設[D（3+cosθ，sinθ）， θ∈R. ]

[∵OA+OB+OD=（2+cosθ，3+sinθ），]

[∴OA+OB+OD=8+23sinθ+4cosθ]

[=8+27sin（θ+φ），]

利用三角函數知識可知，當且僅當[sin（θ+φ）=1]時，[OA+OB+OD]有最大值[7+1.]

解法2 由解析幾何知識知，因爲動點[D]的軌跡是以[C]爲圓心的單位圓，所以[D]點的軌跡方程爲：[（x-3）2+y2=1.]

又[∵OA+OB+OD=（x-1，y+3），]

於是問題轉化爲求圓[C：（x-3）2+y2=1]上的點到點[M][（1，-3）]距離的最大值，最大值爲[CM+1=7+1.]

3.平面向量與線性規劃交匯

解析 [∵OP=mAB+nAC，]

[∴（x，y）=（m+2n，2m+n）， ][即x=m+2n， y=2m+n.]

兩式相減得：[y-x=m-n.]

於是將問題轉化爲求[y-x]在[△ABC]內部及邊界求最大值的問題.令[y-x=t，]由線性規劃知識可知，當直線[y=x+t]過點[B（2，3）]時，[t]取得最大值1，所以[m-n]的最大值爲1.

總的來說，向量問題的解決途徑一般有兩個：一是基於幾何直觀的幾何法，二是基於座標運算的代數法.向量兼具幾何與代數的雙重特徵，向量解題的工具性作用在於數形結合溝通形與數之間的關係.