數量關係--牛吃草問題

牛吃草問題又稱爲消長問題或牛頓問題

是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由於吃的天數不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數不斷地變化。

解決牛吃草問題常用到四個基本的公式，分別是

(1)草的生長速度=(對應的牛頭數×吃的較多天數-對應的牛頭數×吃的較少天數)÷(吃的較多天數-吃的較少天數);

(2)原有草量=牛頭數×吃的天數-草的生長速度×吃的天數;

(3)吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度);

(4)牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度。

這四個公式是解決消長問題的基礎。

由於牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由於是勻速生長，所以每天新長出的草量應該是不變的。正是由於這個不變量，才能夠導出上面的四個基本公式。

牛吃草問題經常給出不同頭數的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由於吃草的牛頭數不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。

解題關鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數量，再求出草地裏原有草的數量，進而解答題總所求的問題。

這類問題的基本數量關係是：

1.吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度)

2.牛的頭數×吃草天數-每天新長量×吃草天數=草地原有的草。

舉個簡單的例子

牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天?

分析與解：這類題難就難在牧場上草的數量每天都在發生變化，我們要想辦法從變化當中找到不變的量。總草量可以分爲牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因爲是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數量相同，即每天新長出的'草是不變的。下面，就要設法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。

設1頭牛一天吃的草爲1份。那麼，10頭牛20天吃200份，草被吃完;15頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，後者的總草量是150份，前者是原有的草加 20天新長出的草，後者是原有的草加10天新長出的草。

200-150=50(份)，2010=10(天)，

說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草

(l05)× 20=100(份)或(155)×10=100(份)。

已經知道原有草100份，每天新長出草5份。當有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20=5(天)。

所以，這片草地可供25頭牛吃5天。