融入數學文化 感受數學魅力

摘要：高中學生的文化認知具有同喻性和不均衡性特點。數學文化在數學學習中的表現形態是：數學學習的“文化”特徵表現爲羣體的活動性，文化學習的“數學”課程表現爲系統的開放性，數學文化的“學習”過程表現爲知識的默會性。

關鍵詞：數學文化；數學學習；文化認知

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》在基本理念中充分肯定了數學的文化價值，特別是在“課程實施建議”的“教材編寫建議”中指出，教材可以在適當的地方介紹有關的數學背景知識（數學家的故事、數學趣聞與數學史料）。而《普通高中數學課程標準（實驗）》則進一步強調：“數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀。爲此，高中數學課程提倡體現數學的文化價值，並在適當的內容中提出對‘數學文化’的學習要求，設立‘數學史選講’等專題。”可見，數學文化已逐步從理念走進中國小數學課堂。如何使數學文化真正走進數學課堂，一個比較現實的做法是使之融入到數學學習之中。這不僅要重視數學學科本身的文化價值，還要探討學生的文化認知特點，對文化、數學、學習三者之間的內在聯繫做深入的考察。

一、高中學生的文化認知特點

根據維果茨基的“文化發展的一般發生學原理”：兒童的文化發展所有機能出現兩次或兩個層面，先是社會層面，接着是心理層面。首先它作爲心理間的範疇出現在人們之間，然後作爲心理內的範疇進入兒童中。[1]可見，從文化的視角剖析數學學習，至少要採用社會學和心理學的觀點。

（一）同喻性

一個時代文化環境的形成離不開文化的傳遞機制。美國人類學家瑪格麗特·米德從研究人類社會文化傳遞的差異出發，將人類的文化變遷劃分爲三個部分：後喻文化、同喻文化和前喻文化，其中同喻文化是指學習主要發生在同輩人之間，其基本特點是以當代流行的行爲模式作爲自己的行爲準則。今天的高中學生帶有同喻文化的特徵。

高中學生的同伴影響逐步擴大。我國絕大部分高中學生是獨生子女，在家裏缺乏可以溝通的兄弟姐妹。而在多數中學，一個班級通常有四五十人之多。家庭和學校之間存在着的差異使他們更傾向於在學校羣體生活中表達和交流自己的思想，同齡人的觀念、行爲對他們產生較大的影響。

中學教師的長輩角色正在淡化。社會的迅猛發展，使教師再也無法通過施加壓力來傳播舊的文化觀念，原來的自上而下的教育模式已失去了部分魅力，許多青年人通過自己摸索和感受萌生了前人未曾有過的想法和期望。特別是高中學生，由於知識的增長及心理的逐漸成熟，開始比較多地從個體存在與發展的角度來思考社會與人生，他們已經不可能也不必完全照搬前輩的經驗去刻畫自己的人生軌跡。那種後喻文化中說教式的思想教育方式，比以往更不容易爲學生所接受。

作爲文化的數學正以學生樂於認同的方式被傳播。數學具備文化獨有的特性：它是延續人類思想的一種工具，是描述世界圖式的有力助手，精確的形式化、簡潔的符號表徵常常被成功地運用到其他科學領域。伴隨着科學技術在社會生活領域的不斷滲透，學生有更多的機會聯繫數學。在數學新課程背景下，一些密切聯繫學生生活的數學知識進入高中教材。網絡技術的普及使學生得以快速瞭解大量知識。不斷拓寬的信息通道，活潑平易的呈現方式，使數學有機會向學生展示它人文的一面。

（二）不均衡性

人的認知源於人與大自然、與社會和文化之間的相互作用，其發展又與個體內部的認知因素密切相關。由於學生的大量知識通過學校習得，他們的認知結構在相當程度上取決於學校所傳授的知識內容及其形成過程。聯繫我國目前高中教育的實際情況，學生對“數學文化”的認知存在如下問題。

1.知識結構的不均衡造成學生對“數學”的文化感知產生偏差。學校的學科設置力求體現當代人類知識的主要特徵，現代人類知識總體結構中，關於自然科學與技術科學的知識部門已大大超過了人文社會科學。人類6000餘種學科中，屬於科技類的知識約佔總數的。與之相應，我國普通高中課程雖然設置了政治、歷史和地理，但在學校的地位卻難以與數學、物理和化學等相比。如果高一階段有若干可以機動安排的課時，學校更願意留給數理化等學科。由此造成的一個突出現象是，文、理科學生人數的差距巨大，尤其是經濟較爲發達的地區，如浙江省的文科學生通常只佔同年級人數的左右。人文知識與科學知識的不均衡，使學生文化素養不夠全面，對待事物容易就事論事。有不少學生認爲數學是確定的，數學問題有且只有一個答案，學校中學到的數學在現實生活中很少有價值。

2.組織結構的不均衡導致學生對“數學”的文化認同出現逆差。人們重視科技教育而忽視人文教育，“不只表現在教育規模、教育結構方面，更表現在課程與教學內容和教學方式方法方面，換句話說，科技文化統治着學校教育，科技知識、理性思維廣泛而深入地影響和左右着學校教育教學過程”。造成學生知識結構的組成方式不均衡。在中學界，幾乎所有的教師和學生都相當重視數學，但他們對待數學的動機不同，其中不乏出於大學聯考的壓力。由此帶來的負面影響是：教學中存在着重結果、重應用的現象，忽略數學知識形成和發展的過程，知識的生成是快速的，知識之間連接的鏈條被機械地焊接，知識的運用中充斥着大量的習題。在“現成的數學與做出來的數學”之間，很難將數學看成是人類的活動。學生數學“學”得越多，對文化的認同反而越少。

二、數學文化在高中數學學習中的表現形態

數學文化與數學學習融合的過程中，文化、數學、學習三者之間的內在關係必以某種形態表現出來，而這些表現形態又將決定我們採取相應的方式。在分析高中學生文化認知特點的基礎上，筆者將從數學學習的“文化”特徵、文化學習的“數學”課程以及數學文化的“學習”過程三個方面探討數學文化在數學學習中的表現形態。

（一）羣體的活動性

羣體與活動是數學文化進入數學教育過程的直接表現。一旦我們以文化的理念開展數學教育，這種表現形態便應運而生。

其一，數學教育的文化觀強調學生以活動的方式進行數學學習。

數學作爲人們描述客觀世界的一種量化模式，它當然是人類文化的一個組成部分。在承認這一“客觀性”的基礎上，相對於認識主體而言，數學對象終究不是物質世界中的真實存在，而是抽象思維的產物，它是一種人爲約定的規則系統。可見，數學的文化觀念不僅承認數學在科學技術方面的應用，還強調“人”在數學文化體系形成過程中的能動作用。美國文化學家克羅伯和克拉克洪在文化的界定中指出：“文化體系一方面可以看作是活動的產物，另一方面是進一步活動的決定因素。”這說明人的主觀能動性主要表現在活動的參與中，通過活動，使知識學習與精神教化自然地結合起來。並且，數學文化的滲透性具有內在和外顯兩種方式，其內在方式表現在數學的理性精神對人類思維的深刻滲透力。因而，在數學教育中，教師應當尊重學生的主體地位，通過學生的主動參與，發揮數學在精神領域上的教育功效。

其二，文化意義上的數學教育提倡羣體的交流與合作。

文化的概念始終與羣體、傳統等密切相關。在現代人類文化學的研究中，關於文化的一個較爲流行的定義是：“由某種因素（居住地域、民族性、職業等）聯繫起來的各個羣體所特有的行爲、觀念和態度等。”在現代社會中，數學家顯然構成了一個特殊羣體──數學共同體，在數學共同體內，每個數學家都必然地作爲其中的一員從事自己的研究活動，從而也就必然地處在一定的數學傳統之中，個人的數學創造最終必須接受社會的裁決。“只有爲相應的社會共同體（即數學共同體）一致接受的數學概念才能真正成爲數學的成分。”[3]文化意義上的數學正是關注到了數學與整體性文化環境的關係，數學“不應被等同於知識的簡單彙集，而應主要地被看成人類的一種創造性活動，一種以‘數學共同體’爲主體，並在一定環境中所從事的活動。”

可見，一個富有生命力的數學知識，蘊涵着一定的“社會性”。教科書上貌似明瞭的敘述，其實是經過歷史盪滌的精華，承載着複雜的文化背景。在學校教育的條件下，教師與學生自然構成了一個“數學學習共同體”，雖然他們未必能發明或創造出新的理論，但面對同一個數學問題，各成員有着不同的行爲、觀念和態度，這些差異常常在相同的時間聚集於同一個環境。鑑於高中學生文化認知的同喻性，某個學生的見解需要接受共同體的評價才能被承認，教師的教學內容同樣需要經過共同體的認同纔有可能真正被學生內化。因此，從文化的角度來看，學校中的數學學習實質上是一種微觀的數學文化。

由於學生主要通過在教室中獲得數學知識，所以，數學文化教育的中心場所應在教室。已有的國內外研究表明，教師和學生所具有的各種與數學教學直接相關的觀點、信念等是影響數學教室文化的重要因素，彼此的數學交流與合作是構建教室文化的主體部分。近幾年來，現代教育學正將這種相互交換想法的學習（即互惠性學習reciprocallearning）當做未來學習的模式，作爲建構新的教室文化的指標。

（二）系統的開放性

羣體的活動顯然可以貼切地表現數學學習的“文化”特性，但這些活動始終在“數學”範疇內展開。我們有必要探究高中數學課程的特點。

從文化傳承上看，高中數學課程具有組織構成的開放性，主要表現爲它與社會生活及現代數學的動態聯繫。作爲人類文化的一個子系統，數學並不是一個完全封閉的系統，外部力量對於數學發展也起着決定性作用。例如，二次世界大戰就曾促進了系統分析、博弈論、運籌學和信息論等學科的研究。雖然高中數學課程有別於一般意義上的數學，出於教育的目的對數學知識進行了重新整合，但這種“教育加工”仍然要儘量地展示數學科學的原貌，以達到文化傳承的目的。我們可以看到現代數學的一些分支等正逐步地進入高中教材。雖然外部力量對基礎教育階段的中學數學課程沒有如此巨大的影響，但它們表明了數學的廣泛應用價值，從而爲高中數學課程結構的開放性給出了有力的證明。例如，教材中的有限與無限、隨機與確定、結構與算法等都與現代科學技術有聯繫，而數列、線性規劃等直接地涉及學生的社會生活。

從文化傳播上看，高中數學課程具有觀念整合的開放性，通過課程的活化促進文化增殖。數學課程中內容的選擇、編寫乃至實踐，不可避免地受到各種社會、文化與觀念等要素的`影響，從而在傳播的過程中產生文化的擴展和延伸。課程作爲文化傳播的一種手段，並不是簡單地複製，更主要的是通過文化增殖起到一種強烈的活化作用。在中學階段，雖然各位教師面對的是同一本教材，但教師總是要根據具體教學過程的需要進行具體的再加工，而這種加工的過程又必然會溶進每個教師特有的個性因素，滲透着教師本人的世界觀，體現他的精神面貌並以此對學習者產生影響。同時，由於學生個體素質的多樣性，即使是由同一位教師傳遞並且傳遞的文化實質完全相同，對每個學習者來說，文化信息的接受也存在着差異。

從文化傳遞上看，高中數學課程具有整體效能的開放性，通過系統屬性的聯合作用，發揮出“整體大於部分和”的功效。在高中數學課程內部，各子系統既保持着縱向的知識序，又維繫着橫向的方法序。例如，從指數函數到對數函數，三角函數到反三角函數，這些知識被有序地排列着，它們之間藉助反函數融爲一體，利用數形結合的方法，生動地刻畫出函數的性質。在其外部，高中數學課程以工具性學科的地位與其他中學“友鄰”課程形成協同關係。“數學課程向‘友鄰’課程提供知識和智能方面的儲備工具，又從‘友鄰’課程那裏獲得需求信息、實證材料、強化運用數學智能的場所。”例如，函數與物理的勢能、立體幾何與化學的分子結構、排列組合與生物的基因分析、對稱與語文的對偶等。

文化與課程的關係表明，高中數學課程是一個開放的文化體系。作爲中學數學教師，要在教學中體現數學的文化價值，要對“數學”有正確的認識，那就是：是整體的數學，而不是分散、孤立的各個分支；是廣泛應用的數學，而不僅是象牙塔裏的嚴密體系；是與其他科學密切聯繫的數學，而不是純而又純的抽象理念。

（三）知識的默會性

對羣體活動與數學課程的考察，有助於我們把握數學文化表現形態的總體脈絡，但數學文化必須通過學習才能被學生領悟。由於文化由外顯的和內隱的行爲模式構成，作爲文化的數學與作爲科學的數學在學習過程中也有所不同。

科學的數學追求完全確定的知識、精確的運算與嚴密的推理，追求用簡單且抽象的語言來描述客觀世界的規律。在客觀主義知識觀、科學觀的支配下，人們過多地強調知識的客觀性、非個體性、完全的明確性等等，出現了“人的隱退”現象。

其實，知識並不是孤立的、靜態的、純形式邏輯的，而是常常與人休慼相關的。“自然科學與人文科學一樣，充滿着人性因素，科學實質上是一種人性化的科學。”在國際哲學界以創立意會認知理論（TacitKnowing）而聞名的英國物理化學家和哲學家波蘭尼從“我們所知道的要比我們所能言傳的多”出發，把人類的知識分爲明言知識與默會知識。明言知識指以書面、圖表和數學公式加以表述的知識，默會知識是指未被表述的、我們知道但難以言傳的知識，例如，我們在做某事的行動中所擁有的知識。波蘭尼認爲：“在非言傳的‘意會’認知層面，科學與人文是相通的。”

既然這種默會知識藏於內心，無法用明確的規則來表達，那麼該怎樣學習傳授呢？波蘭尼指出：“通過了解同樣活動的全過程，我們才能瞭解另一個人的內心東西。”基於高中學生的文化認知特點和數學學習的實際情況，我們可以通過以下方式突出數學知識中的“人性”。

1.客觀對象“數學化”。弗賴登塔爾曾言：“我們的教育應當爲青年人創造機會，讓他們通過自己的活動來獲得文化遺產。”對學生而言，“學一個活動的最好方法是做。”[8]通過“做”數學，“學生和學生之間的相互作用真實地反映了在數學課堂中形成的文化：具體的教師、具體的學生以及正在形成的具體的‘數學化’。”

2.數學解題“擬人化”。從文化的角度審視數學解題過程，它是策略創造與邏輯材料、技巧性與程式化的有機結合，是一個有序結構的統一體，它與數學的特徵相一致，隱含着數學家的思維方式，從而使解題超越了數學思維活動本身的範圍，進一步延伸到文化道德、思想修養的素質範疇。G·波利亞的《怎樣解題》中包含了程序化的解題系統、啓發式的過程分析、開放型的念頭誘發及探索性的問題轉換等，字裏行間不時地涌現出諸如“如果你有一個念頭，你是夠幸運的了”“好的題目和某種蘑菇有點相似，它們都成串生長”“呆頭呆腦地乾等着某個念頭的降臨”這些平和的話語，使讀者不知不覺間置身其中，一些解題外的感受也油然而生。優秀學生對解題感興趣，更多時候像在做遊戲，說明數學習題中蘊涵着很多人性化的品質──題中尋趣，在於換個角度看問題。