離職申請不被批准怎麼辦？

已經去意已決，沒有商量餘地，並且下家公司項目緊急，需要我立即加入。但現在的領導就是不批，老是已人手緊缺爲藉口，個人猜測是可能想讓我留到即將到來的年度項目結束後再走，這樣的話我豈不是還得再忍受各種不快幾個月，而且要錯過另一家公司的機會？
我現在每天下班後都得去另一家公司加班，算是義務勞動且無怨無悔，假如我後邊已生病爲由定期請假去支持另一家公司項目，這種做法是否可行或者會帶來什麼樣的後果？懇請有這類經驗的'給予解答。
ps：現在所在的公司是某知名互聯網公司，要去的是一家互聯網創業公司。