數學學業水平考高中知識點總結

總結是指對某一階段的工作、學習或思想中的經驗或情況進行分析研究，做出帶有規律性結論的書面材料，他能夠提升我們的書面表達能力，因此我們需要回頭歸納，寫一份總結了。我們該怎麼寫總結呢？以下是小編精心整理的數學學業水平考高中知識點總結，僅供參考，歡迎大家閱讀。

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1.輾轉相除法是用於求公約數的一種方法，這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法.

2.所謂輾轉相法，就是對於給定的兩個數，用較大的數除以較小的數.若餘數不爲零，則將較小的數和餘數構成新的一對數，繼續上面的除法，直到大數被小數除盡，則這時的除數就是原來兩個數的公約數.

3.更相減損術是一種求兩數公約數的方法.其基本過程是：對於給定的兩數，用較大的數減去較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數，繼續這個操作，直到所得的數相等爲止，則這個數就是所求的公約數.

4.秦九韶算法是一種用於計算一元二次多項式的值的方法.

5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.

6.進位制是人們爲了計數和運算方便而約定的記數系統.“滿進一”，就是k進制，進制的基數是k.

7.將進制的數化爲十進制數的方法是：先將進制數寫成用各位上的數字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進制數的運算規則計算出結果.

8.將十進制數化爲進制數的方法是：除k取餘法.即用k連續去除該十進制數或所得的商，直到商爲零爲止，然後把每次所得的餘數倒着排成一個數就是相應的進制數.

1.重點：理解輾轉相除法與更相減損術的原理,會求兩個數的公約數;理解秦九韶算法原理，會求一元多項式的值;會對一組數據按照一定的規則進行排序;理解進位制，能進行各種進位制之間的轉化.

2.難點：秦九韶算法求一元多項式的值及各種進位制之間的轉化.

3.重難點：理解輾轉相除法與更相減損術、秦九韶算法原理、排序方法、進位制之間的轉化方法.

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複數定義

我們把形如a+bi(a,b均爲實數)的數稱爲複數，其中a稱爲實部，b稱爲虛部，i稱爲虛數單位。當虛部等於零時，這個複數可以視爲實數;當z的虛部不等於零時，實部等於零時，常稱z爲純虛數。複數域是實數域的代數閉包，也即任何復係數多項式在複數域中總有根。

複數表達式

虛數是與任何事物沒有聯繫的，是絕對的，所以符合的表達式爲：

a=a+ia爲實部，i爲虛部

複數運算法則

加法法則：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

減法法則：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

乘法法則：(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

除法法則：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c2+d2)]+[(bc-ad)/(c2+d2)]i.

例如：[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=0，最終結果還是0，也就在數字中沒有複數的存在。[(a+bi)+(c+di)]-[(a+c)+(b+d)i]=z是一個函數。

複數與幾何

①幾何形式

複數z=a+bi被複平面上的點z(a，b)確定。這種形式使複數的問題可以藉助圖形來研究。也可反過來用複數的理論解決一些幾何問題。

②向量形式

複數z=a+bi用一個以原點O(0,0)爲起點，點Z(a,b)爲終點的向量OZ表示。這種形式使複數四則運算得到恰當的幾何解釋。

③三角形式

複數z=a+bi化爲三角形式

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考點一、映射的概念

1.瞭解對應大千世界的對應共分四類，分別是：一對一多對一一對多多對多

2.映射：設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關係f，對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都存在的一個元素y與之對應，那麼，就稱對應f：A→B爲集合A到集合B的一個映射（mapping）.映射是特殊的對應，簡稱“對一”的對應.包括：一對一多對一

考點二、函數的概念

1.函數：設A和B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都存在確定的數y與之對應，那麼，就稱對應f：A→B爲集合A到集合B的一個函數.記作y=f（x），xA.其中x叫自變量，x的取值範圍A叫函數的定義域；與x的值相對應的y的值函數值，函數值的集合叫做函數的值域.函數是特殊的映射，是非空數集A到非空數集B的映射.

2.函數的三要素：定義域、值域、對應關係.這是判斷兩個函數是否爲同一函數的依據.

3.區間的概念：設a，bR，且a

①（a，b）={xa

⑤（a，+∞）={>a}⑥[a，+∞）={≥a}⑦（—∞，b）={

考點三、函數的表示方法

1.函數的三種表示方法列表法圖象法解析法

2.分段函數：定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數.注意兩點：①分段函數是一個函數，不要誤認爲是幾個函數.②分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集.

考點四、求定義域的幾種情況

①若f（x）是整式，則函數的定義域是實數集R；

②若f（x）是分式，則函數的定義域是使分母不等於0的實數集；

③若f（x）是二次根式，則函數的定義域是使根號內的式子大於或等於0的實數集合；

④若f（x）是對數函數，真數應大於零.

⑤.因爲零的零次冪沒有意義，所以底數和指數不能同時爲零.

⑥若f（x）是由幾個部分的數學式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；

⑦若f（x）是由實際問題抽象出來的函數，則函數的定義域應符合實際問題

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1.一些基本概念：

(1)向量：既有大小，又有方向的量.

(2)數量：只有大小，沒有方向的量.

(3)有向線段的三要素：起點、方向、長度.

(4)零向量：長度爲0的向量.

(5)單位向量：長度等於1個單位的向量.

(6)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.

※零向量與任一向量平行.

(7)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

2.向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點：共起點

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(1)直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角爲0度。因此，傾斜角的取值範圍是0°≤α<180°

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

②過兩點的直線的斜率公式：

注意下面四點：

(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角爲90°;

(2)k與P1、P2的順序無關;

(3)以後求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的座標直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的座標先求斜率得到。

(3)直線方程

①點斜式：直線斜率k，且過點

注意：當直線的斜率爲0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率爲90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因l上每一點的橫座標都等於x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直線斜率爲k，直線在y軸上的截距爲b

③兩點式：直線兩點，

④截矩式：其中直線與軸交於點,與軸交於點,即與軸、軸的截距分別爲。

⑤一般式：(A，B不全爲0)

⑤一般式：(A，B不全爲0)

注意：○1各式的適用範圍

○2特殊的方程如：平行於x軸的直線：(b爲常數);平行於y軸的直線：(a爲常數);

(4)直線系方程：即具有某一共同性質的直線

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1.求函數的單調性：

利用導數求函數單調性的基本方法：設函數yf（x）在區間（a，b）內可導，（1）如果恆f（x）0，則函數yf（x）在區間（a，b）上爲增函數；（2）如果恆f（x）0，則函數yf（x）在區間（a，b）上爲減函數；（3）如果恆f（x）0，則函數yf（x）在區間（a，b）上爲常數函數.

利用導數求函數單調性的基本步驟：①求函數yf（x）的定義域；②求導數f（x）；③解不等式f（x）0，解集在定義域內的不間斷區間爲增區間；④解不等式f（x）0，解集在定義域內的不間斷區間爲減區間.

反過來，也可以利用導數由函數的單調性解決相關問題（如確定參數的取值範圍）：設函數yf（x）在區間（a，b）內可導，

（1）如果函數yf（x）在區間（a，b）上爲增函數，則f（x）0（其中使f（x）0的x值不構成區間）；

（2）如果函數yf（x）在區間（a，b）上爲減函數，則f（x）0（其中使f（x）0的x值不構成區間）；

（3）如果函數yf（x）在區間（a，b）上爲常數函數，則f（x）0恆成立.

2.求函數的極值：

設函數yf（x）在x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有的點都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）），則稱f（x0）是函數f（x）的極小值（或極大值）.

可導函數的極值，可通過研究函數的單調性求得，基本步驟是：

（1）確定函數f（x）的定義域；（2）求導數f（x）；（3）求方程f（x）0的全部實根，x1x2xn，順次將定義域分成若干個小區間，並列表：x變化時，f（x）和f（x）值的變化情況：

（4）檢查f（x）的符號並由表格判斷極值.

3.求函數的值與最小值：

如果函數f（x）在定義域I內存在x0，使得對任意的xI，總有f（x）f（x0），則稱f（x0）爲函數在定義域上的值.函數在定義域內的極值不一定，但在定義域內的最值是的.

求函數f（x）在區間[a，b]上的值和最小值的步驟：（1）求f（x）在區間（a，b）上的極值；

（2）將第一步中求得的極值與f（a），f（b）比較，得到f（x）在區間[a，b]上的值與最小值.

4.解決不等式的有關問題：

（1）不等式恆成立問題（絕對不等式問題）可考慮值域.

f（x）（xA）的值域是[a，b]時，

不等式f（x）0恆成立的充要條件是f（x）max0，即b0；

不等式f（x）0恆成立的充要條件是f（x）min0，即a0.

f（x）（xA）的.值域是（a，b）時，

不等式f（x）0恆成立的充要條件是b0；不等式f（x）0恆成立的充要條件是a0.

（2）證明不等式f（x）0可轉化爲證明f（x）max0，或利用函數f（x）的單調性，轉化爲證明f（x）f（x0）0.

5.導數在實際生活中的應用：

實際生活求解（小）值問題，通常都可轉化爲函數的最值.在利用導數來求函數最值時，一定要注意，極值點的單峯函數，極值點就是最值點，在解題時要加以說明.

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有界性

設函數f（x）在區間X上有定義，如果存在M>0，對於一切屬於區間X上的x，恆有|f（x）|≤M，則稱f（x）在區間X上有界，否則稱f（x）在區間上無界.

單調性

設函數f（x）的定義域爲D，區間I包含於D.如果對於區間上任意兩點x1及x2，當x1f（x2），則稱函數f（x）在區間I上是單調遞減的.單調遞增和單調遞減的函數統稱爲單調函數.

奇偶性

設爲一個實變量實值函數，若有f（—x）=—f（x），則f（x）爲奇函數.

幾何上，一個奇函數關於原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉後不會改變.

奇函數的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）.

設f（x）爲一實變量實值函數，若有f（x）=f（—x），則f（x）爲偶函數.

幾何上，一個偶函數關於y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射後不會改變.

偶函數的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）.

偶函數不可能是個雙射映射.

連續性

在數學中，連續是函數的一種屬性.直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會隨之足夠小的函數.如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱爲是不連續的函數（或者說具有不連續性）.

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1.定義法：

判斷B是A的條件，實際上就是判斷B=>A或者A=>B是否成立，只要把題目中所給的條件按邏輯關係畫出箭頭示意圖，再利用定義判斷即可.

2.轉換法：

當所給命題的充要條件不易判斷時，可對命題進行等價裝換，例如改用其逆否命題進行判斷.

3.集合法

在命題的條件和結論間的關係判斷有困難時，可從集合的角度考慮，記條件p、q對應的集合分別爲A、B，則：

若A∩B，則p是q的充分條件.

若A∪B，則p是q的必要條件.

若A=B，則p是q的充要條件.

若A∈B，且B∈A，則p是q的既不充分也不必要條件.

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1.萬能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)

2.輔助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a

3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]sina_cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa_sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa_cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina_sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

向量公式：

1.單位向量：單位向量a0=向量a/|向量a|

2.P(x,y)那麼向量OP=x向量i+y向量j|向量OP|=根號(x平方+y平方)

3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)那麼向量P1P2={x2-x1,y2-y1｝|向量P1P2|=根號[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

4.向量a={x1,x2｝向量b={x2,y2｝向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_Cosα=x1x2+y1y2Cosα=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|(x1x2+y1y2)根號(x1平方+y1平方)_根號(x2平方+y2平方)

5.空間向量：同上推論(提示：向量a={x,y,z｝)

6.充要條件：如果向量a向量b那麼向量a_向量b=0如果向量a//向量b那麼向量a_向量b=|向量a|_|向量b|或者x1/x2=y1/y2

7.|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a_向量b=(向量a向量b)平方

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1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸爲直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線的交點爲拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，座標爲

P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

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方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對於函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫座標。即：

方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

3、函數零點的求法：

求函數的零點：

1(代數法)求方程的實數根;

2(幾何法)對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯繫起來，並利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數.

1、△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

2、△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

3、△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

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二項式定理知識點：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn

特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性質和主要結論：對稱性Cnm=Cnn-m

二項式係數在中間。(要注意n爲奇數還是偶數，答案是中間一項還是中間兩項)

所有二項式係數的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

奇數項二項式係數的和=偶數項而是係數的和

Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1

③通項爲第r+1項：Tr+1=Cnran-rbr作用：處理與指定項、特定項、常數項、有理項等有關問題。

二項式定理的應用：解決有關近似計算、整除問題，運用二項展開式定理並且結合放縮法證明與指數有關的不等式。

注意二項式係數與項的係數(字母項的係數，指定項的係數等，指運算結果的係數)的區別，在求某幾項的係數的和時注意賦值法的應用。