完全平方公式數學教案
1.能根據多項式的乘法推導出完全平方公式;(重點)
2.理解並掌握完全平方公式,並能進行計算.(重點、難點)
一、情境導入
計算:
(1)(x+1)2; (2)(x-1)2;
(3)(a+b)2; (4)(a-b)2.
由上述計算,你發現了什麼結論?
二、合作探究
探究點:完全平方公式
【類型一】 直接運用完全平方公式進行計算
利用完全平方公式計算:
(1)(5-a)2;
(2)(-3-4n)2;
(3)(-3a+b)2.
解析:直接運用完全平方公式進行計算即可.
解:(1)(5-a)2=25-10a+a2;
(2)(-3-4n)2=92+24n+16n2;
(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.
方法總結:完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧記爲“首平方,末平方,首末兩倍中間放”.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第12題
【類型二】 構造完全平方式
如果36x2+(+1)x+252是一個完全平方式,求的值.
解析:先根據兩平方項確定出這兩個數,再根據完全平方公式確定的值.
解:∵36x2+(+1)x+252=(6x)2+(+1)x+(5)2,∴(+1)x=±26x5,∴+1=±60,∴=59或-61.
方法總結:兩數的平方和加上或減去它們積的2倍,就構成了一個完全平方式.注意積的2倍的符號,避免漏解.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題
【類型三】 運用完全平方公式進行簡便計算
利用完全平方公式計算:
(1)992; (2)1022.
解析:(1)把99寫成(100-1)的形式,然後利用完全平方公式展開計算.(2)可把102分成100+2,然後根據完全平方公式計算.
解:(1)992=(100-1)2=1002-2×100+12=10000-200+1=9801;
(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+4=10404.
方法總結:利用完全平方公式計算一個數的平方時,先把這個數寫成整十或整百的數與另一個數的和或差,然後根據完全平方公式展開計算.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第13題
【類型四】 靈活運用完全平方公式求代數式的值
若(x+)2=9,且(x-)2=1.
(1)求1x2+12的值;
(2)求(x2+1)(2+1)的值.
解析:(1)先去括號,再整體代入即可求出答案;(2)先變形,再整體代入,即可求出答案.
解:(1)∵(x+)2=9,(x-)2=1,∴x2+2x+2=9,x2-2x+2=1,4x=9-1=8,∴x=2,∴1x2+12=x2+2x22=(x+)2-2xx22=9-2×222=54;
(2)∵(x+)2=9,x=2,∴(x2+1)(2+1)=x22+2+x2+1=x22+(x+)2-2x+1=22+9-2×2+1=10.
方法總結:所求的展開式中都含有x或x+時,我們可以把它們看作一個整體代入到需要求值的代數式中,整體求解.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課後鞏固提升”第9題
【類型五】 完全平方公式的幾何背景
我們已經接觸了很多代數恆等式,知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數恆等式.例如圖甲可以用來解釋(a+b)2-(a-b)2=4ab.那麼通過圖乙面積的計算,驗證了一個恆等式,此等式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)2=a2+2ab+b2
解析:空白部分的面積爲(a-b)2,還可以表示爲a2-2ab+b2,所以,此等式是(a-b)2=a2-2ab+b2.故選C.
方法總結:通過幾何圖形面積之間的數量關係對完全平方公式做出幾何解釋.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第7題
【類型六】 與完全平方公式有關的`探究問題
下表爲楊輝三角係數表,它的作用是指導讀者按規律寫出形如(a+b)n(n爲正整數)展開式的係數,請你仔細觀察下表中的規律,填出(a+b)6展開式中所缺的係數.
(a+b)1=a+b,
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
則(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+________a3b3+15a2b4+6ab5+b6.
解析:由(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各項展開式的係數除首尾兩項都是1外,其餘各項係數都等於(a+b)n-1的相鄰兩個係數的和,由此可得(a+b)4的各項係數依次爲1、4、6、4、1;(a+b)5的各項係數依次爲1、5、10、10、5、1;因此(a+b)6的係數分別爲1、6、15、20、15、6、1,故填20.
方法總結:對於規律探究題,讀懂題意並根據所給的式子尋找規律,是快速解題的關鍵.
變式訓練:見《學練優》本課時練習“課後鞏固提升”第10題
三、板書設計
1.完全平方公式
兩個數的和(或差)的平方,等於這兩個數的平方和加(或減)這兩個數乘積的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
2.完全平方公式的運用
本節課通過多項式乘法推導出完全平方公式,讓學生自己總結出完全平方公式的特徵,注意不要出現如下錯誤:(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.爲幫助學生記憶完全平方公式,可採用如下口訣:首平方,尾平方,乘積兩倍在中央.教學中,教師可通過判斷正誤等習題強化學生對完全平方公式的理解記憶。
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