二次函數知識點總結

二次函數及其圖像

二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行於y軸的拋物線。

一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關係：

一般式

y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數)，頂點座標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

頂點式

y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點座標為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;

交點式

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限於與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線];

重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的'開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點式的係數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

求根公式

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法還有因式分解法和配方法

在平面直角座標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數圖像

如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數將是由一般式平移得到的。

注意：草圖要有1本身圖像，旁邊註明函數。

2畫出對稱軸，並註明X=什麼

3與X軸交點座標，與Y軸交點座標，頂點座標。拋物線的性質

軸對稱

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點

2.拋物線有一個頂點P，座標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

開口

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

決定對稱軸位置的因素

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

決定拋物線與y軸交點的因素

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交於(0，c)

拋物線與x軸交點個數

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在

{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①當x=1時y=abc

②當x=-1時y=a-bc

③當x=2時y=4a2bc

④當x=-2時y=4a-2bc