高二數學《導數與函數的性質》知識要點總結
單調性
⑴若導數大於零,則單調遞增;若導數小於零,則單調遞減;導數等於零為函數駐點,不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。
⑵若已知函數為遞增函數,則導數大於等於零;若已知函數為遞減函數,則導數小於等於零。
根據微積分基本定理,對於可導的函數,有:
如果函數的導函數在某一區間內恆大於零(或恆小於零),那麼函數在這一區間內單調遞增(或單調遞減),這種區間也稱為函數的單調區間。導函數等於零的點稱為函數的駐點,在這類點上函數可能會取得極大值或極小值(即極值可疑點)。進一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對於滿足的一點,如果存在使得在之前區間上都大於等於零,而在之後區間上都小於等於零,那麼是一個極大值點,反之則為極小值點。
x變化時函數(藍色曲線)的切線變化。函數的導數值就是切線的`斜率,綠色代表其值為正,紅色代表其值為負,黑色代表值為零。
凹凸性
可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增,那麼這個區間上函數是向下凹的,反之則是向上凸的。如果二階導函數存在,也可以用它的正負性判斷,如果在某個區間上 恆大於零,則這個區間上函數是向下凹的,反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱為曲線的拐點。
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