複數知識點複習總結

篇一：複數總結

復 數

一．本章知識結構

二．學習內容和要求

（一）學習目標

1．瞭解引進複數的必要性，數集的擴展過程及複數的分類表；

2．理解複數的有關概念；

3．掌握複數的代數形式；

4．掌握複數的代數形式的運算法則；

5．能進行復數的加、減、乘、除運算；

6．掌握某些特殊複數的運算特徵

7．能在複數集中因式分解、解一元二次方程等。

（二）本章知識精要

1．複數的概念：

（1）虛數單位i；

（2）複數的代數形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）複數的實部、虛部、虛數與純虛數。

2．複數集

整 數??有 理 數?實數(b?0)???分 數??復 數a?bi(a,b?R)?小數)?無理數(無限不循環

虛 數(b?0)?純 虛 數(a?0)???非 純 虛 數(a?0) ?

3．複數的四則運算

若兩個複數z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）減法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222（4）除法：；

（5）四則運算的交換率、結合率；分配率都適合於複數的情況。

（6）特殊複數的運算：

n① i(n爲整數)的週期性運算； ② (1±i)2=±2i；

1③ 若ω=－2+2i，則ω3=1，1+ω+ω2=0.

4．共軛複數與複數的模

（1）若z=a+bi，則?a?bi，z?爲實數，z?爲純虛數(b≠0).

2z??|z|（2）複數z=a+bi的模，

且=a2+b2.

三．學習方法與指導

（一）學習方法點撥：

1．數的概念是從實踐中產生和發展起來的。隨着生產和科學的發展，數的概念也不斷的被擴大和充實，從自然數集、整數集、有理數集到實數集的每一次擴充，推動了生產的進一步發展，也使數的理論逐步深化和發展，複數最初是由於解方程得需要產生的，後來由於在科學技術中得到應用而進一步發展。

要求熟悉我們已經學過的各種數集之間的內在聯繫。理解複數在其中所起到的.重要作用，和各種數集之間的包含關係。

2．複數a+bi(a, b∈R)由兩部分組成，實數a與b分別稱爲複數a+bi的實部與虛部，1與i分別是實數單位和虛數單位，當b=0時，a+bi就是實數，當b≠0時，a+bi是虛數，其中a=0且b≠0時稱爲純虛數。

應特別注意，a=0僅是複數a+bi爲純虛數的必要條件，若a=b=0，則a+bi=0是實數。

3．根據兩個複數相等的定義，設a, b, c, d∈R，兩個複數a+bi和c+di相等

?a?c?a?0???b?d?規定爲a+bi=c+di. 由這個定義得到a+bi=0??b?0.

兩個複數不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。

兩個複數相當的定義實際上給出了將複數問題轉化爲實數問題的方法，是求複數值、在複數集中解方程得重要依據。

4．複數a+bi的共軛複數是a－bi，若兩複數是共軛複數，則它們所表示的點關於實軸對稱。若b=0，則實數a與實數a共軛，表示點落在實軸上。

5．複數的加法、減法、乘法運算與實數的運算基本上沒有區別，最主要的是在運算中將i2=－1結合到實際運算過程中去。

如(a+bi)(a－bi)=a2－(bi)2=a2－b2i2=a2+b2.

6．複數的除法是複數乘法的逆運算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的複數x+yi叫做複數a+bi除以複數c+di的商。 由於兩個共軛複數的積是實數，因此複數的除法可以通過將分母實化得到，即a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i??c?di(c?di)(c?di)c2?d2.

7．複數a+bi的模的幾何意義是指表示複數a+bi的點到原點的距離。

（二）典型例題講解

1．複數的概念

例1．實數m取什麼數值時，複數z=m+1+(m－1)i是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？（4）對應的點Z在第三象限？

解：複數z=m+1+(m－1)i中，因爲m∈R，所以m+1，m－1都是實數，它們分別是z的實部和虛部，

∴ （1）m=1時，z是實數； （2）m≠1時，z是虛數；

?m?1?0?（3）當?m?1?0時，即m=－1時，z是純虛數；

?m?1?0?（4）當?m?1?0時，即m<－1時，z對應的點Z在第三象限。

例2．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y.

?2x?1?y5?解：根據複數相等的意義，得方程組?1??(3?y)，得x=2, y=4.

例3．已知x與y實部相等，虛部互爲相反數，且(x+y)2－3xyi=4－6i，求x, y. 解：由題意設x=a+bi，y=a－bi (a, b∈R)，則代入原式得

?4a2?4?a??1?a??1?a?1?a?1?????22b?1?3(a?b)??6b?1b??1??(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi??，或?或?或?b??1，

?x?1?i?x?1?i?x??1?i?x??1?i????y?1?iy?1?iy??1?i∴ ?或?或?或?y??1?i.

2m2?3m?2

2m?25+(m2+3m－10)i；例4．當m爲何實數時，複數z＝（1）是實數；（2）

是虛數；（3）是純虛數．

解：此題主要考查複數的有關概念及方程（組）的解法．

?m2?3m?10?0?2m?25?0， ? （1）z爲實數，則虛部m2+3m－10=0，即

解得m=2，∴ m=2時，z爲實數。

?m2?3m?10?0?2m?25?0， （2）z爲虛數，則虛部m2+3m－10≠0，即?

?2m2?3m?2?0?2?m?3m?10?0?m2?25?0?解得m≠2且m≠±5. 當m≠2且m≠±5時，z爲虛數．，

11

解得m=－2, ∴當m=－2時，z爲純虛數．

詮釋：本題應抓住複數分別爲實數、虛數、純虛數時相應必須具備的條件，還應特別注意分母不爲零這一要求．

例5．計算：i＋i2＋i3+……+i2005.

解：此題主要考查in的週期性．

i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005

=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i

＝0＋0＋……＋0+i＝i.

或者可利用等比數列的求和公式來求解（略） 詮釋：本題應抓住in的週期及合理分組．

例8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的實數m＝ .

解：此題主要考查複數能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．

∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虛數不能比較大小，

?m2?10?|m|?10?2??m?3m?0?m?0或m?3?2?m?3或m?1m?4m?3?0?∴，解得?，∴ m=3.

當m＝3時，原不等式成立．

詮釋：本題應抓住複數能比較大小時必須都爲實數這一條件。

x?y2?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z． 例9．已知z=x＋yi(x，y∈R)，且

解：本題主要考查複數相等的充要條件及指數方程，對數方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3??x?y2?ilogx?8?(1?logy)ilogx?1?logy22?22∵ ，∴，∴?xy?2，

?x?2?x?1??y?1?解得或?y?2, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i．

詮釋：本題應抓住複數相等的充要條件這一關鍵，正確、熟練地解方程（指數，對數方程）

例10．已知x爲純虛數，y是實數，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，求x、y的值． 解：本題主要考查複數的有關概念，實數與i的運算，複數相等的充要條件，方程組的解法．

設x＝ti (t∈R，且t≠0），則2x－1＋i＝y－(3－y)i可化爲

2ti－1＋i＝y－(3－y)i，即(2t＋1)i－1=y－(3－y)i，

?2t?1??(3?y)55??1?y∴?, ∴y=－1, t=－2, ∴ x=－2i.

2．複數的四則運算

（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99

=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i－3－4i)+(5+6i－7－8i)+……+(97+98i－99－100i)

=25(－2－2i)=－50－50i.

4

例2．已知複數z滿足|z－2|=2，z+z∈R，求z.

解：設z=x+yi, x, y∈R，則 44(x?yi)4x4y4?x?yi?2?x??(y?)i22222x?yx?yx?y， z+z=z+4y4y?22∵ z+z∈R，∴ x?y=0， 又|z－2|=2, ∴ (x－2)2+y2=4,

聯立解得，當y=0時, x=4或x=0 (捨去x=0, 因此時z=0)，

??x?1??y?±3, 當y≠0時

, ?

∴ 綜上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1－3i.

例3．設z爲虛數，求證：z+z爲實數的充要條件是|z|=1.

證明：設z=a+bi (a, b∈R，b≠0)，於是 11a?biab?a?bi?2?(a?)?(b?)i22222a?ba?ba?b, z+z=(a+bi)+a?bi1b

22所以b≠0, (z+z)∈R?b－a?b=0?a2+b2=1?|z|=1.z?1

例4．複數z滿足(z+1)(+1)=||2，且z?1爲純虛數，求z.

篇二：複數知識點總結

複數

一、複數的概念

1. 虛數單位i

（1） 它的平方等於?1，即 i??1；

（2） 實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、乘法運算仍然成立，即滿足交換律與結合律．

（3） i的乘方： i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,n?N*，它們不超出bi的形式． 2

2. 複數的定義

形如a?bi(a,b?R)的數叫做複數， a,b分別叫做複數的實部與虛部

3. 複數相等 a?bi?c?di，即a?c,b?d，那麼這兩個複數相等

4. 共軛複數 i時，z?a?bi． z?a?b

性質：z?z；z1?z2?z1?z2；z1?z2?z1?z1； (z1z2)?z1z2(z2?0);

二、複平面及複數的座標表示

1. 複平面

在直角座標系裏，點z的橫座標是a，縱座標是b，複數z?a?bi可用點Z(a,b)來表示，這個建立了直角座標系來表示複數的平面叫做複平面，x軸爲實軸，y軸出去原點的部分稱爲虛軸．

2. 複數的座標表示 點Z(a,b)

????3. 複數的向量表示 向量OZ．

4. 複數的模

????在複平面內，複數z?a?bi對應點Z(a,b)，點Z到原點的距離OZ叫做複數z的模，記作z

．由定義知，z?．

三、複數的運算

1. 加法 幾何意義： 設z1?a?bi對應向量OZ1?(a,b)，z2?c?di對應向量OZ2?(c,d)，則

??????????因此複數的和可以在複平面上用平行四邊z1?z2對應的向量爲OZ1?OZ2?(a?c,b?d)．

形法則解釋．

2. 減法 (a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i．

幾何意義： 設z1?a?bi對應向量OZ1?(a,b)，z2?c?di對應向量OZ2?(c,d)，則

z1?z2對應的向量爲OZ1?OZ2?Z2Z1?(a?c,b?d)．

z1?z2?(a?c)?(b?d)i?Z1、Z2兩點之間的距離，也?????等於向量Z1Z2的模．

3. 乘法 ?a?bi???c?di???a?c???b?d?i.

4. 乘方 zm?zn?z?m n (zm)n?zmn (z1?z2)n?zn1?zn 2

5. 除法 ?a?bi???c?di??

6. 複數運算的常用結論

（1） (a?bi)?a?b?2abi， (a?bi)(a?bi)?a?b

（2） (1?i)?2i， (1?i)??2i

（3）2222222a?bi?a?bi??c?di??ac?bd???bc?ad?i??. 22c?dic?dic?dic?d1?i1?i?i， ??i 1?i1?i

（4） z1?z2?z1?z2， z1?z2?z1?z2， ?

（5） z?z?z， z?z

（6）z1?z2?z1?z2?z1?z2 2?z1?z1??，z?z． ?z2?z2

（7）z1?z2?z1?z2，z1?z2?z1?z2，z?z nn

四、複數的平方根與立方根

1. 平方根 若(a?bi)2?c?di，則a?bi是c?di的一個平方根，?(a?bi)也是c?di的平方根． （1的平方根是?i．）

2. 立方根 如果複數z1、z2滿足z13?z2，則稱z1是z2的立方根．

（1） 1的立方根： 1,??,2．

五、複數方程

1. 常見圖形的複數方程

（1） 圓：z?z0?r（r?0，z0爲常數），表示以z0對應的點Z0爲圓心，r爲半徑的圓

（2） 線段Z1Z2的中垂線：z?z1?z?z2（其中z1,z2分別對應點Z1,Z2）

（3） 橢圓： z?z1?z?z2?2a（其中a?0且z1?z2?2a），表示以z1,z2對應的點F1、F2爲焦點，長軸長爲2a的橢圓

（4） 雙曲線： z?z1?z?z2?2a（其中a?0且z1?z2?2a），表示以z1,z2對應的點F1、F2爲焦點，實軸長爲2a的雙曲線

2. 實係數方程在複數範圍內求根

篇三：複數概念及公式總結

數系的擴充和複數概念和公式總結

1.虛數單位i:

它的平方等於-1，即 i2??1

2. i與－1的關係: i就是－1的一個平方根，即方程x2=－1的一個根，方程x2=－1的另一個根是－i

3. i的週期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n4.複數的定義：形如a?bi(a,b?R)的數叫複數，a叫複數的實部，b叫複數C複數通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)

5. 複數與實數、虛數、純虛數及0的關係：對於複數a?bi(a,b?R)，當且僅當b=0時，複數a+bi(a、b∈R)是實數a；當b≠0時，複數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；a≠0且b≠0時，z=bi叫做非純虛數的純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0.

5.複數集與其它數集之間的關係：NZQRC.

6. 兩個複數相等的定義：如果兩個複數的實部和虛部分別相等，那麼我們a，b，c，d∈R，那麼a+bi=c+di?a=c，b=

一般地，兩個複數只能說相等或不相等，而不能比較大小.如果兩個複數都

7. 複平面、實軸、虛軸：

點Z的橫座標是a，縱座標是b，複數z=a+bi(a、b∈R)可用點Z(a，b)表示，這個建立了直角座標系來表示複數的平面叫做複平面， x軸叫做實軸，y軸叫做虛 （1

（2（3）原點對應的有序實數對爲(0，0)

設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意兩個複數，

8．複數z1與z2的加法運算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

9.複數z1與z2的減法運算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

10.複數z1與z2的乘法運算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 11.複數z1與z2的除法運算律：z1÷z2 =(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?2i（分母實數化） 222c?dc?d

12.共軛複數：當兩個複數的實部相等，虛部互爲相反數時，這兩個複數叫做互0通常記複數z的共軛複數爲z。例如z=3＋5i與z=3－5i互爲共軛複數

13. 共軛複數的性質

（1）實數的共軛複數仍然是它本身

（2）Z??Z2? 2

（3）兩個共軛複數對應的點關於實軸對稱

14.複數的兩種幾何意義： 15幾個常用結論

22 複數 Z ? a ? bi ? a , R （2）?1?i???2i ? （1）?1?i??2i，b ?

一一對應 （3）

一一對應 點Z(a,b) 向量OZ 11?i??i， （4） ?i i1?i

16.複數的模： （5）

複數Z?a?bi的模Z?1?i??i 1?ia2?b2 （6）?a?bi??a?bi??a2?b2

《複數》

1. 設複數z?a?bi(a,b?R)，則z爲純虛數的必要不充分條件是____________。

a2?7a?62?(a?5a?6)i(a?R)，那麼當a=_______時，z是實數； 2. 已知複數z?2a?1當a?__________________時，z是虛數；當a=___________時，z是純虛數。

3. 已知x2?y2?6?(x?y?2)i?0，則實數x?__________,y?___________.

4. 若複數a滿足a?1?2ai??4?4i,則複數a=___________。

5. 已知a?R，則複數z?(a?2a?2)?(6a?a?10)i必位於複平面的第_____象限。

6. 複數z?i?i在複平面對應的點在第_______象限。

7. 設i是虛數單位，計算i?i?i?i?________. 234

17. 已知複數w滿足w?4?(3?2w)i(i爲虛數單位），z?5w?|w?2|，求z