多邊形知識點總結

多邊形

按照不同的標準，多邊形可以分爲正多邊形和非正多邊形、凸多邊形及凹多邊形等。

由在同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上的線段首尾順次連結且不相交所組成的封閉圖形叫做多邊形。在不同平面上的多條線段首尾順次連結且不相交所組成的圖形也被稱爲多邊形，是廣義的多邊形。

組成多邊形的線段至少有3條，三角形是最簡單的多邊形。組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊;相鄰的兩條線段的公共端點叫做多邊形的頂點;多邊形相鄰兩邊所成的角叫做多邊形的內角;連接多邊形的兩個不相鄰頂點的線段叫做多邊形的對角線。

多邊形還可以分爲正多邊形和非正多邊形。正多邊形各邊相等且各內角相等。

多邊形也可以分爲凸多邊形及凹多邊形，凸多邊形又可稱爲平面多邊形，凹多邊形又稱空間多邊形

上面的此定理只適用於凸多邊形，即平面多邊形，空間多邊形不適用。

　　一、多邊形

1、多邊形：由一些線段首尾順次連結組成的圖形，叫做多邊形。

2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。

3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。

4、多邊形的對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。

6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。

說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今後所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。

7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角。

8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。

注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角的鄰補角。

　　二、平行四邊形

1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。

3、平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。

4、平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。

5、平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。

6、平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7、平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

8、平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

說明：（1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。

（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法。

　　三、矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個內角變爲90°時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。

1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形）

2、矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。

3．矩形性質定理2：矩形的對角線相等。

4、矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。

說明：因爲四邊形的內角和等於360度，已知有三個角都是直角，那麼第四個角必定是直角。

5、矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。

說明：要判定四邊形是矩形的方法是：

法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）

法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）

法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）

　　四、菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。

1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、菱形的性質1：菱形的四條邊相等。

3、菱形的性質2：菱形的.對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。

4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5、菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

說明：要判定四邊形是菱形的方法是：

法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。

法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）

法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

　　五、正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角爲直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。

1、正方形：有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。

3、正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。

注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）

方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）

方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2）

　　六、梯形

1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。

5、直角梯形：一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形。

6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性質定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。

8、等腰梯形性質定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。

9、等腰梯形的判定定理l。：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。

10、等腰梯形的判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。

研究等腰梯形常用的方法有：化爲一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線於一點；或延長兩腰交於一點。

　　七、中位線

1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

2、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。

3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。

4、梯形中位線定理：梯形中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半。

　　八、多邊形的面積

說明：多邊形的面積常用的求法有：

（1）將任意一個平面圖形劃分爲若幹部分再通過求部分的面積的和，求出原來圖形的面積這種方法叫做分割法。如圖3－l，作六邊形的最長的一條對角線，從其它各頂點向這條對角線引垂線，把六邊形分成四個直角三角形和兩個直角梯形，計算它們的面積再相加。

（2）將一個平面圖形的某一部分割下來移放在另一個適當的位置上，從而改變原來圖形的形狀。利用計算變形後的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。叫做割補法。

（3）將一個平面圖形通過拼補某一圖形，使它變爲另一個圖形，利用新的圖形減去所補充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。

注意：兩個圖形全等，它們的面積相等。等底等高的三角面積相等。一個圖形的面積等於它的各部分面積的和。