平面向量的公式的高中數學知識點總結
鑑於數學知識點的重要性,小編爲您提供了這篇有關平面向量的公式的高中數學知識點總結,希望對同學們的數學有所幫助。
定比分點
定比分點公式(向量P1P=λ向量PP2)
設P1、P2是直線上的兩點,P是l上不同於P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ,使 向量P1P=λ向量PP2,λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點座標公式)
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,則G爲△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0,則a//b的重要條件是存在唯一實數λ,使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行於任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 ab=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直於任何向量.
設a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律:
交換律:a+b=b+a;
結合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互爲相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量爲0
AB-AC=CB. 即“共同起點,指向被減”
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量,記作λa,且?λa?=?λ??a?。
當λ>0時,λa與a同方向;
當λ<0時,λa與a反方向;
當λ=0時,λa=0,方向任意。
當a=0時,對於任意實數λ,都有λa=0。
注:按定義知,如果λa=0,那麼λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的係數,乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當?λ?>1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長爲原來的?λ?倍;
當?λ?<1時,表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短爲原來的?λ?倍。
數與向量的乘法滿足下面的.運算律
結合律:(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量對於數的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
數對於向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律:① 如果實數λ≠0且λa=λb,那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那麼λ=μ。
3、向量的的數量積
定義:已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π
定義:兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量,記作ab。若a、b不共線,則ab=abcos〈a,b〉;若a、b共線,則ab=+-?a??b?。
向量的數量積的座標表示:ab=xx'+yy'。
向量的數量積的運算律
ab=ba(交換律);
(λa)b=λ(ab)(關於數乘法的結合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的數量積的性質
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律,即:(ab)c≠a(bc);例如:(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律,即:由 ab=ac (a≠0),推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ,推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b。若a、b不共線,則a×b的模是:?a×b?=absin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直於a和b,且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線,則a×b=0。
向量的向量積性質:
?a×b?是以a和b爲邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
向量的三角形不等式
1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;
① 當且僅當a、b反向時,左邊取等號;
② 當且僅當a、b同向時,右邊取等號。
2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。
① 當且僅當a、b同向時,左邊取等號;
② 當且僅當a、b反向時,右邊取等號。
這篇有關平面向量的公式的高中數學知識點總結,是小編精心爲同學們準備的,祝大家學習愉快!
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