數學多邊形內角和公式的推導方法
利用多邊形的內角和來解決問題是我們在解題時經常遇到的,而知道多邊形的外角和是多少也同樣重要.在學習中我們知道任意多邊形的外角和都爲360,內角和公式爲(n-2)180,利用這兩個知識點可以解決多邊形的內角、外角、邊數及對角線等問題,現就一些例題進行一下例析.
一.求多邊形的邊數
例1.一個正多邊形的內角和是900,則這個多邊形的邊數是_________.
分析:設此多邊形邊數爲n,利用多邊形內角和公式,得到(n-2)180=900,解得n=7,所以這個多邊形的邊數爲7.
例2.一個多邊形的內角和與外角和相等,那麼這個多邊形是__________.
分析:設多邊形邊數爲n,其內角和爲(n-2)180,外角和爲360,因爲這個多邊形內、外角和相等,可得(n-2)180=360解得n=4.所以這個多邊形是四邊形.
例3.如果正多邊形的一個外角爲72,那麼它的'邊數是( )
分析:其中一種思考方法爲:因爲多邊形的外角和爲360,而一個外角爲72,所以它的邊數
爲36072另一種思考方法爲:因爲正多邊形的一個外角爲72,可以得出與它相鄰的內角爲180-72=108,因多邊形的內角和爲(n-2)180,可得(n-2)180=108n,解這個方程得:n=5.
例4.一個多邊形的內角和是外角和的4倍,求這個多邊形的邊數.
分析:此題可設多邊形的邊數爲n,因爲多邊形內角和爲(n-2)180,多邊形的外角和爲360,所以根據題意可得:(n-2)180=3604,解得n=10.所以這個多邊形的邊數爲10.
二.求多邊形的內角度數
例3:正六邊形每個內角的度數爲_________.
分析:因爲多邊形的外角和爲360,所以正六邊形每個外角的度數爲 ,所以每個內角的度數爲180-60=120此題也可利用多邊形的內角和來解爲 .
三.求多邊形對角線的條數
例4:一個多邊形的每個外角都爲36,則這個多邊形的對角線有_______條.
分析:因爲這個多邊形的每個外角都是36,所以這個多邊形是正多邊形.設這個正多邊形的邊數爲n,則n= ,所以這個多邊形是正十邊形.因爲多邊形對角線的總條數爲 ,所以這個多邊形的對角線的條數爲 .
四.實際應用
1.某裝修公司到商場買同樣一種多邊形的地磚平鋪地面,在以下四種地磚中,你認爲該公司不能
買( )
A 正三角形的地磚 B 正方形地磚 C 正五邊形地磚 D 正六邊形地磚
分析:要使買的同樣一種多邊形的地磚能平鋪地面,則它的幾個角能構成360,因正三角形三個內角和爲180,所以它符合標準;正方形的四個內角和爲360,所以它也符合要求;而正五邊形它的一個內角爲108,360不能被108整除,所以正五邊形不符合要求;用同樣的道理可知正六邊形符合要求.所以此題選C.
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