實變函數期末試卷

實變函數試題及答案

一、填空題

設12nAn 12n 則limnnA. ab因爲存在兩個集合之間的一一映射爲 . 設E是2R中函數1cos000xyxx的圖形上的點所組成的 集合則EE. 若集合nER滿足EE 則E爲集. 若是直線上開集G的一個構成區間 則滿足: . 設E使閉區間ab中的全體無理數集 則mE. 若nmEfx0fx 則說nfx在E上 . 設nER 0nxR若則稱0x是E的聚點. 設nfx是E上幾乎處處有限的可測函數列 fx是E上 幾乎處處有限的可測函數 若0 有 則稱nfx在E上依測度收斂於fx. 設nfxfxxE 則nfx的子列jnfx 使得.

11. 111nn .

12.111nnnnn .

13. 01到aab的雙射是 .

14. E的全體聚點所組成的集合包含於E的充要條件是 .

15. 01中無理數集的外測度爲 .

16. nR中所有開集生成的代數記爲B稱B中的集合爲 .

17. 若0mA則對任意的點集B必有mAB .

18. 當E爲閉區間時mE .

19. 設函數fx在可測集E上幾乎處處有限若對任意給定的0存在E中的一個閉集F使mEF且fx在F上連續則fx是可測集E上的. .

20. 是否存在開集使其餘集仍爲開集是或不是選其一填寫 .

21如果 則稱E是自密集如果 則稱E是開集如 果EE則稱E是 .

22設G表示爲一列開集iG之交集1iiGG則G稱爲 .

23. 若F表示爲一列閉集iF之並集1iiFF則F稱爲 .

24. abRbaf在E上可測則EfaEfb .

25. Cantor集的外測度爲 .

26Fatou引理設nf是可測集qRE上一列非負可測函數則 .

二、判斷題.

正確的證明 錯誤的舉反例. 若AB可測 AB且AB則mAmB. 設E爲點集 PE 則P是E的外點. 點集112En的閉集. 任意多個閉集的並集是閉集. 若nER滿足mE 則E爲無限集合.

6. 若E與它的真子集對等則E一定是有限集

7. 凡非負可測函數都是L可積的 8.設A爲1R空間中一非空集若則 9.設E爲可測集則存在G型集F使得EF且0FEm 在ba上L可積則xf在baR可積且babadxxfRdxxfL

三、 計算證明題

1. 證明:ABCABAC

2. 設M是3R空間中以有理點即座標都是有理數爲中心 有理數爲半徑的球的全體 證明M爲可數集.

3. 設nERiEB且iB爲可測集 12i.根據題意 若有 0imBEi 證明E是可測集. 設P是Cantor集 32ln101xxPfxxxP. 求10Lfxdx. 設函數fx在Cantor集0P中點x上取值爲3x 而在0P的餘集中長爲13n的構成區間上取值爲16n 12n 求 10fxdx. 求極限: 13230limRsin1nnxnxdxnx. 7.開集減