數學大學聯考試題及答案

一、選擇題

1 .(2013年大學聯考重慶卷(文))某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積爲

()

A. B. C. D.

【答案】D

2 .(2013年大學聯考課標Ⅱ卷(文))一個四面體的頂點在空間直角座標系 中的座標分別是 ,畫該四面體三視圖中的正視圖時,以 平面爲投影面,則得到正視圖可以爲

( )

A. B. C. D.

【答案】A

3 .(2013年大學聯考課標Ⅰ卷(文))某幾何函數的三視圖如圖所示,

則該幾何的體積爲()

A. B. C. D.

【答案】A

4 .(2013年大學聯考大綱卷(文))已知正四棱錐

的正弦值等於()

A. B. C. D.

【答案】A

5 .(2013年大學聯考四川卷(文))一個幾何體的三視圖如圖所示,

則該幾何體可以是()

A.棱柱 B.棱臺 C.圓柱 D.圓臺

【答案】D

6 .(2013年大學聯考浙江卷(文))已知某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,

則該幾何體的體積是()

A.108cm3 B.100 cm3 C.92cm3 D.84cm3

【答案】B

7 .(2013年大學聯考北京卷(文))如圖,在正方體 中, 爲

對角線 的三等分點,則 到各頂點的距離的不同取值有 ()

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

【答案】B

8 .(2013年大學聯考廣東卷(文))某三棱錐的三視圖如圖 2所示,則該三棱錐

的體積是()

A. B. C. D.

【答案】B

9 .(2013年大學聯考湖南(文))已知正方體的棱長爲1,其俯視圖是一個面積爲1

的正方形,側視圖是一個面積爲 的矩形,則該正方體的正視圖的面積等於()

A. B.1 C. D.

【答案】D

10.(2013年大學聯考浙江卷(文))設m.n是兩條不同的直線,α.β是兩個不同的平面, ()

A.若m‖α,n‖α,則m‖n B.若m‖α,m‖β,則α‖β

C.若m‖n,m⊥α,則n⊥α D.若m‖α,α⊥β,則m⊥β

【答案】C

11.(2013年大學聯考遼寧卷(文))已知三棱柱 的6個頂點都在球 的球面上,若 , , ,則球 的半徑爲 ()

A. B. C. D.

【答案】C

12.(2013年大學聯考廣東卷(文))設 爲直線, 是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 ()

A.若 , ,則 B.若 , ,則

C.若 , ,則 D.若 , ,則

【答案】B

13.(2013年大學聯考山東卷(文 ))一個四棱錐的側棱長都相等,底面是正方形,其正(主)

視圖如右圖所示該四棱錐側面積和體積分別是()

A. B. C. D.8,8

【答案】B

14.(2013年大學聯考江西卷(文))一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體

的體積爲 ()

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π

【答案】A

二、填空題

15.(2013年大學聯考課標Ⅱ卷(文))已知正四棱錐O-ABCD的體積爲 ,底面

邊長爲 ,則以O爲球心,OA爲半徑的球的表面積爲________.

【答案】

16.(2013年大學聯考湖北卷(文))我國古代數學 名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直徑爲二尺八寸,盆底直徑爲一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中積水深九寸,則平地降雨量是__________寸.

(注:①平地降雨量等於盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等於十寸)

【答案】3

17.(2013年大學聯考課標Ⅰ卷(文))已知 是球 的直徑 上一點, , 平面 , 爲垂足, 截球 所得截面的面積爲 ,則球 的表面積爲_______.

【答案】 ;

18.(2013年大學聯考北京卷(文))某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的體積爲__________.

【答案】3

19.(2013年大學聯考陝西卷(文))某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積爲________.

【答案】

20.(2013年大學聯考大綱卷(文))已知圓 和圓 是球 的大圓和小圓,其公共弦長等於球 的半徑, 則球 的表面積等於______.

【答案】

21.(2013年上海大學聯考數學試題(文科))已知圓柱 的.母線長爲 ,底面半徑爲 , 是上地面圓心, 、 是下底面圓周上兩個不同的點, 是母線,如圖.若 直線 與 所成角的大小爲 ,則 ________.

【答案】

22.(2013年大學聯考天津卷(文))已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積爲 , 則正方體的棱長爲 ______.

【答案】

23.(2013年大學聯考遼寧卷(文))某幾何體的三視圖如圖所示,則該

幾何體的體積是____________.

【答案】

24.(2013年大學聯考江西卷(文))如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同

一平面α上,且AB//CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數爲_____________.

【答案】4

25.(2013年大學聯考安徽(文))如圖,正方體

的棱長爲1, 爲 的中點,

爲 線段 上的動點,過點 的平

面截該正方體所得的截面記爲 ,則下列命題正確的是__________(寫出所有正確命題的編號).

① 當 時, 爲四邊形;②當 時, 爲等腰梯形;

③當 時, 與 的交點 滿足 ;

④當 時, 爲六邊形;⑤當 時, 的面積爲 .

【答案】①②③⑤

三、解答題

26.(2013年大學聯考遼寧卷(文))如圖,

(I)求證:

(II)設

【答案】

27.(2013年大學聯考浙江卷(文))如圖,在在四棱錐P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G爲線段PC上的點.

(Ⅰ)證明:BD⊥面PAC ;

(Ⅱ)若G是PC的中點,求DG與APC所成的角的正切值;

(Ⅲ)若G滿足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.

【答案】解:證明:(Ⅰ)由已知得三角形 是等腰三角形,且底角等於30°,且 ,所以;、 ,又因爲 ;

(Ⅱ)設 ,由(1)知 ,連接 ,所以 與面 所成的角是 ,由已知及(1)知: , ,所以 與面 所成的角的正切值是 ;

(Ⅲ)由已知得到: ,因爲 ,在 中, ,設

28.(2013年大學聯考陝西卷(文))如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O爲底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.

【答案】解: (Ⅰ) 設 .

.(證畢)

(Ⅱ) .

在正方形AB CD中,AO = 1 .

所以, .

29.(2013年大學聯考福建卷(文))如圖,在四棱錐 中, , , ,

(1)當正視圖方向與向量 的方向相同時,畫出四棱錐 的正視圖.

(要求標出尺寸,並畫出演算過程);

(2)若 爲 的中點,求證: ;

(3)求三棱錐 的體積.

【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 中,過點 作 ,垂足爲 , 由已知得,四邊形 爲矩形, ,在 中,由 , ,依勾股定理得:

,從而 ,又由 平面 得,

從而在 中,由 , ,得

正視圖如右圖所示:

(Ⅱ)取 中點 ,連結 , ,在 中, 是 中點,

∴ , ,又 ,

∴ , , ∴四邊形 爲平行四邊形,∴

又 平面 , 平面 , ∴ 平面

(Ⅲ) ,

又 , ,所以

解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)取 的中點 ,連結 ,

在梯形 中, ,且 ,∴四邊形 爲平行四邊形

∴ ,又 平面 , 平面

∴ 平面 ,又在 中,

平面 , 平面

∴ 平面 .又 ,

∴平面 平面 ,又 平面

∴ 平面

(Ⅲ)同解法一

30.(2013年大學聯考廣東卷(文))如圖4,在邊長爲1的等邊三角形 中, 分別是 邊上的點, , 是 的中點, 與 交於點 ,將 沿 折起,得到如圖5所示的三棱錐 ,其中 .

(1) 證明: //平面 ;

(2) 證明: 平面 ;

(3) 當 時,求三棱錐 的體積 .

【答案】(1)在等邊三角形 中,

,在摺疊後的三棱錐 中

也成立, , 平面 ,

平面 , 平面 ;

(2)在等邊三角形 中, 是 的中點,所以 ①,

.

在三棱錐 中, , ②

;

(3)由(1)可知 ,結合(2)可得 .

31.(2013年大學聯考湖南(文))如圖2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中點,點E在菱BB1上運動.

(I) 證明:AD⊥C1E;

(II) 當異面直線AC,C1E 所成的角爲60°時,求三菱子C1-A2B1E的體積.

【答案】解: (Ⅰ) .

(證畢)

(Ⅱ) .

32.(2013年大學聯考北京卷(文))如圖,在四棱錐 中, , , ,平面 底面 , , 和 分別是 和 的中點,求證:

(1) 底面 ;(2) 平面 ;(3)平面 平面

【答案】(I)因爲平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直於這個平面的交線AD

所以PA垂直底面ABCD.

(II)因爲AB‖CD,CD=2AB,E爲CD的中點

所以AB‖DE,且AB=DE

所以ABED爲平行四邊形,

所以BE‖AD,又因爲BE 平面PAD,AD 平面PAD

所以BE‖平面PAD.

(III)因爲AB⊥AD,而且ABED爲平行四邊形

所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,

所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD

所以CD⊥PD,因爲E和F分別是CD和PC的中點

所以PD‖EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.

33.(2013年大學聯考課標Ⅰ卷(文))如圖,三棱柱 中, ,

(Ⅰ)證明: ;

(Ⅱ)若 , ,求三棱柱 的體積.