湘教版八年級數學下冊期末考試知識點總結

第一章 直角三角形

一、 已學須用知識點回顧

知識點1、等腰三角形的性質

(1)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的

對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸.

(2)三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

(3)等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等. 提示：“三線合一”是指對應的角平分線、中線、高線在畫圖時實際上只是一條線段，即是一條線段既是頂角的'平分線，又是底邊上的中線，還是底邊上的高，不能混淆.

三角形的高可能在三角形的內部，也有可能在三角形的外部，還有可能和三角形的邊重合。

知識點2、等腰三角形的判定定理

1、 定理：如果一個三角形的兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等(簡稱：等角對等邊).

2、 提示：(1)定理題設中的兩個角必須是同一個三角形中的兩個內角，不能出現在兩個三角形中;(2)結論中的兩條邊應是這兩個內角的“對邊”，這種對應關係不能混淆;(3)此定理的作用在於證明一個三角形爲等腰三角形.

知識點3、等邊三角形的性質與判定

1、 等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°.

2、 等邊三角形具有等腰三角形的所有性質，並且在每條邊上都有“三線合一”.因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，而等腰三角形(非等邊三角形)只有一條對稱軸.

3、 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

拓展：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高(或三條中線、三條角平分線)都相等.

知識點4、等腰三角形性質的應用

等腰三角形的性質除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在着特殊的性質，如：

(1) 等腰三角形兩底角的平分線相等;

(2)等腰三角形兩腰上的中線相等;

(3)等腰三角形兩腰上的高相等;

(4)等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等.

知識點5、全等三角形的判定

1、 三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”)。

2、 有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或“邊角邊”)。

3、 有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或“角邊角”)。

4、 有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或“角角邊”) 。

二、現學現用：直角三角形

知識點1、直角三角形的性質定理及推論：

1、直角三角形的兩個銳角互餘。

2、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

3、推論：(1)在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半;

(2)在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等於30°。

4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等於斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2。 (勾股數：能夠構成直角三角形三條邊的正整數{a，b，c}稱爲勾股數，常見的勾股數有：{3k，4k，5k}，{5k，12k，13k}，{8k，15k，17k}，{7k，24k，25k}，{9k，40k，41k}，其中k爲正正整數)

知識點2、直角三角形的判定定理：

1、 有一個角是直角的三角形是直角三角形。

2、 有兩個角互餘的三角形是直角三角形。

3、 如果三角形一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。

4、 如果三角形的三邊長a、b、c滿足關係：a^2+b^2=c^2，那麼這個三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)

知識點3、直角三角形的全等的判定(5種方法)：

1、 判定一般三角形全等的方法(SSS、SAS、ASA、AAS).

2、 判定直角三角形全等獨有的方法：有一條斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，即HL定理(斜邊、直角邊定理)。

知識點4、角平分線的性質和判定：

1、 性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

2、 判定：角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。