高中數學競賽的標準教材
一、基礎知識
1.指數函數及其性質:形如=ax(a>0, a 1)的函數叫做指數函數,其定義域爲R,值域爲(0,+∞),當0<a<1時,=ax是減函數,當a>1時,=ax爲增函數,它的圖象恆過定點(0,1)。
2.分數指數冪: 。
3.對數函數及其性質:形如=lgax(a>0, a 1)的函數叫做對數函數,其定義域爲(0,+∞),值域爲R,圖象過定點(1,0)。當0<a<1,=lgax爲減函數,當a>1時,=lgax爲增函數。
4.對數的性質(M>0, N>0);
1)ax=M x=lg&nt;aM(a>0, a 1);
2)lg&nt;a&nt;(MN)= lg&nt;a M+ lg&nt;a N;
3)lg&nt;a( )= lg&nt;a M- lg&nt;a N;4)lg&nt;a Mn=n lg&nt;a M;,
5)lg&nt;a = lg&nt;a M;6)alg&nt;a M=M; 7) lg&nt;a b= (a,b,c>0, a, c 1).
5. 函數=x+ (a>0)的單調遞增區間是 和 ,單調遞減區間爲 和 。(請讀者自己用定義證明)
6.連續函數的性質:若a<b, f(x)在[a, b]上連續,且f(a)f(b)<0,則f(x)=0在(a,b)上至少有一個實根。
二、方法與例題
1.構造函數解題。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1),求證:ab+bc+ca+1>0.
【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),則f(x)是關於x的一次函數。
所以要證原不等式成立,只需證f(-1)>0且f(1)>0(因爲-1<a<1).
因爲f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,
所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.
例2 (柯西不等式)若a1, a2,…,an是不全爲0的實數,b1, b2,…,bn∈R,則( )( )≥( )2,等號當且僅當存在 R,使a&nt;i= , i=1, 2, …, n時成立。
【證明】 令f(x)= ( )x2-2( )x+ = ,
因爲 >0,且對任意x∈R, f(x)≥0,
所以△=4( )-4( )( )≤0.
展開得( )( )≥( )2。
等號成立等價於f(x)=0有實根,即存在 ,使a&nt;i= , i=1, 2, …, n。
例3 設x, ∈R+, x+=c, c爲常數且c∈(0, 2],求u= 的.最小值。
【解】u= =x+ ≥x+ +2
=x+ +2.
令x=t,則0<t=x≤ ,設f(t)=t+ ,0<t≤
因爲0<c≤2,所以0< ≤1,所以f(t)在 上單調遞減。
所以f(t)in=f( )= + ,所以u≥ + +2.
當x== 時,等號成立. 所以u的最小值爲 + +2.
2.指數和對數的運算技巧。
例4 設p, q∈R+且滿足lg9p= lg12q= lg16(p+q),求 的值。
【解】 令lg9p= lg12q= lg16(p+q)=t,則p=9 t , q=12 t , p+q=16t,
所以9 t +12 t =16 t,即1+
記x= ,則1+x=x2,解得
又 >0,所以 =
例5 對於正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, , z,
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