方差分析和正交試驗設計

第6章 方差分析和正交試驗設計

§6.1 單因子方差分析

在實際問題中，某個指標的取值，往往可能與多個因素有關。例如，農作物的產量，可能與作物的品種有關，可能與施肥量有關，可能與土壤有關，等等。又例如，化工產品的收得率，可能與原料配方有關，可能與催化劑的用量有關，可能與反應溫度有關，還可能與反應容器中的壓力有關，等等。

由於因素很多，自然就會產生這樣的問題：這些因素，對於指標的取值，是否都有顯著的作用？如果不是所有的因素都有顯著的作用，那麼，哪些因素的作用顯著？哪些因素的作用不顯著？還有，這些因素的作用，是簡單地疊加在一起的呢，還是以更復雜的形式交錯在一起的？

以上這些問題，都需要我們從試驗數據出發，來加以判斷、分析，做出結論。方差分析（Analysis of Variance，簡稱ANOVA）就是一種能夠解決這類問題的有效的統計方法。

在方差分析中，將可能與某個指標的取值有關的因素，稱爲因子（Factor），通常用 A,B,? 來表示。因子所取的各種不同的狀態，稱爲水平（Level），用 A1,A2,?，B1,B2,? 來表示。

如果問題中只考慮一個因子，這樣的方差分析稱爲單因子方差分析。如果問題中要考慮兩個因子，這樣的方差分析就稱爲雙因子方差分析。當然，還可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。

我們先來看單因子方差分析。

問題 設某個指標的取值可能與一個因子 A 有關，因子 A 有 r 個水平：A1,A2,?,Ar。在這 r 個水平下的指標值，可以看作是 r個相互獨立、方差相等的正態總體

?i～N(?i,?2)，i?1,2,?,r 。

在每一個水平 Ai 下，對指標作 t （t?1）次重複觀測，設觀測結果爲

Xi1,Xi2,?,Xit ，

它們可以看作是總體 ?i 的樣本。即有

問：因子 A 對指標的作用是否顯著？

１３７

檢驗方法

檢驗因子 A 的`作用是否顯著，相當於要檢驗這樣一個假設

H0：?1??2?r 。

爲了作檢驗，先給出一批定義。稱

n?rt 爲總觀測次數 ，

1t

i??Xij 爲水平Ai的均值 ， tj?1

SSi??(Xij?i)2 爲水平Ai的平方和 ，

j?1t

1rt1r

Xij??i 爲總均值 ， ni?1j?1ri?1

SST(Xij?)2 爲總平方和 ，

i?1j?1rt

SSe(Xij?i)??SSi 爲誤差平方和 ， 2

i?1j?1i?1rtr

SSA?t?(i?)2 爲因子A的平方和 。

i?1r

這些統計量之間的相互關係，可以用下列圖表的形式表示出來：

水平 觀測值 Ai 的平方和 Ai 的均值

1?

r?? 總均值 A1? Ar

X11?X1t←─SS1─→ ?? ? ←─SSr─→ X1?Xrt?r←────→ │←── 誤差平方和SSe──→│←─A的平方和SSA──→│ │←───────── 總平方和SST─────────→│

t

SSi??(Xij?i)2 反映了在各水平 Ai 的內部指標取值的差異程度，這種差異

j?1

完全是由於誤差引起的，而 SSe 是所有這樣的 SSi 的總和，所以稱爲誤差平方和。

SSA?t?(i?)2 反映了各水平之間指標取值的差異程度，如果因子A 的作用i?1r

不顯著，各水平之間差異很小，1,2,?,r近似相等，與X差異很小，SSA 的值也比 １３８

較小，如果因子A 的作用顯著，各水平之間差異很大，1,2,?,r與X的差異也很大，

所以稱爲因子A 的平方和。 SSA 的值就會偏大。SSA 的大小反映了因子 A 的作用大小，

總平方和 SST 、誤差平方和 SSe 、因子A 的平方和 SSA 之間，有下列平方和分解關係：

SST?SSe?SSA 。

這是因爲

SST(Xij?)2 i?1j?1

rtrt

(X

i?1j?1

rtij?i?i?)2 ?i)?2??(Xij?i)(i?)(i?)2 2

i?1j?1i?1j?1

trtrt (Xi?1j?1ij

?SSe?2?(?X

i?1j?1rij?ti)(i?)?t?(i?)2 i?1r

?SSe?0?SSA?SSe?SSA 。

由 SSA 、SSe 可以算出統計量 MSA?SSA(r?1) 和 MSe?SSe(n?r) 。MSA 稱爲因子A 的均方，MSe 稱爲誤差均方。由 MSA 、MSe 可以算出統計量

FA?MSASSA(r?1) 。 ?MSeSSe(n?r)

下面證明一個關於 FA 的分佈的定理。

定理 6.1 若 H0：?1??2?r 爲真，則有

FA?MSASSA(r?1)～F(r?1,n?r) 。 ?MSeSSe(n?r)

2 證 設?1??2?r??，這時有 ?i～N(?,?)，i?1,2,?,r 。

因爲 Xi1,Xi2,?,Xit 是 ?i的樣本，所以 Xij～N(?,?)2Xij??

?～N(0,1)，

i?1,2,?,r，j?1,2,?,t，相互獨立。 １３９

Q?

r

t

?Xiji?1j?1??

r

t

2

??(X

i?1j?1

rt

ij

?)2

?

2

??(X

?

i?1j?1

ij2

?)

2

2??(Xij?)(??)?

i?1j?1

rt

??(??)

?

i?1j?1

rt

2

??

SST

?0?

2

?

2

?

SSA

SSe

n(??)2

?2?2

2

?

?

2

?

?2

?

n?Q1?Q2?Q3 。

??

其中，Q1?

r

SSA

?

r

2

?

t?(i?)2

i?1

r

?2

是r項的平方和，但這r項又滿足1個線性關係式：

?(i?1

i

?)??i?r?0，所以，Q1的自由度 f1?r?1。

i?1

Q2?

SSe

??(X

?

i?1j?1

rt

ij

?i)2

是 n?rt 項的平方和，但這 n 項又滿足 r個線性

t

?

2

?2

ij

關係式：

?(X

j?1

t

?i)??Xij?ti?0，i?1,2,?,r，所以，Q2的自由度

j?1

f2?n?r。

?

?nQ3是1項的平方和，所以，Q3的自由度 f3?1。

??

因爲 f1?f2?f3?(r?1)?(n?r)?1?n，所以由定理2.7（Cochran 定理）可知：

2

Q1?

SSA

?

2

2

～?(r?1)，Q2?

SSe

?2

?22

?n～?(n?r)，Q3～?(1)，

??

2

2

而且Q1?

SSA

?

2

，Q2?

SSe

?2

?

?n，Q3相互獨立。

??

因此，由F分佈的定義可知

１４０

2SSA(r?1)FA??

SSe(n?r)SSe

SSA

r?1)

～F(r?1,n?r) 。

?

2

n?r)

由定理6.1可知，若H0：?1??2?r 爲真，則FA～F(r?1,n?r) ； 若 H0：?1??2?r 不真，則SSA的值會偏大，FA的值也會偏大，統計量FA 的分佈，相對於 F(r?1,n?r) 分佈來說，峯值的位置會有一個向右的偏移。

因此，可得到檢驗方法如下：

從樣本求出 FA 的值。對於給定的顯著水平?，自由度(r?1,n?r)，查F分佈的分位數表,可得分位數F1??(r?1,n?r)，使得 P{FA?F1??(r?1,n?r)}?? ，當

FA?F1??(r?1,n?r) 時，拒絕H0：?1??2?r ，這時，可以認爲因子 A 的

作用顯著，否則，接受 H0：?1??2?r，這時，可以認爲因子 A 的作用不顯著 。 單因子方差分析的計算步驟

方差分析的計算比較複雜，用帶統計功能的計算器計算時，最好按照下列步驟進行，並把計算結果填寫在下列形式的表格中：

t

1t

（1）從Xi1,Xi2,?,Xiti求出 i??Xij 和 SSi??(Xij?i)2,i?1,2,?,r 。

tj?1j?1

t

1t

把Xi1,Xi2,?,Xiti看作樣本，i??Xij 就是樣本均值，SSi??(Xij?i)2

tj?1j?1

1t2

就是樣本方差 S??(Xij?i) 再乘以樣本觀測次數 t （或修正樣本方差

tj?1

2

1t

。所以，在計算器上計算時，只要像計算樣本統S*?(Xij?i)2再乘以t?1）?t?1j?1

2

１４１