2016年考研數學一大綱

2016年考研數學一大綱

1、試卷滿分及考試時間

試卷滿分爲150分，考試時間爲180分鐘.

2、答題方式

答題方式爲閉卷、筆試.

3、試卷內容結構

高等數學　56%

線性代數　22%

概率論與數理統計 22%

4、試卷題型結構

試卷題型結構爲：

單選題 8小題，每題4分，共32分

填空題 6小題，每題4分，共24分

解答題(包括證明題) 9小題，共94分

2016年考研數學一大綱

函數極限連續

1.理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關係.

2.瞭解函數的有界性、單調性、週期性和奇偶性.

3.理解複合函數及分段函數的概念，瞭解反函數及隱函數的概念.

4.掌握基本初等函數的性質及其圖形，瞭解初等函數的概念.

5.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關係.

6.掌握極限的性質及四則運算法則.

7.掌握極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法.

8.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限.

9.理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型.

10.瞭解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，並會應用這些性質.

一元函數微分學

考試要求

1.理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關係，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，瞭解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關係.

2.掌握導數的四則運算法則和複合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式.瞭解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分.

3.瞭解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數.

4.會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.

5.理解並會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，瞭解並會用柯西(Cauchy)中值定理.

6.掌握用洛必達法則求未定式極限的方法.

7.理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用.

8.會用導數判斷函數圖形的凹凸性(注：在區間 內，設函數 具有二階導數。當f''(x)>0 時，f(x) 的圖形是凹的;當f(x) <0時，f(x) 的圖形是凸的)，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形.

9.瞭解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑.

一元函數積分學

考試要求

1.理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念.

2.掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法.

3.會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分.

4.理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式.

5.瞭解反常積分的概念，會計算反常積分.

6.掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積爲已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等)及函數的平均值.

向量代數和空間解析幾何

考試要求

1.理解空間直角座標系，理解向量的概念及其表示.

2.掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)，瞭解兩個向量垂直、平行的條件.

3.理解單位向量、方向數與方向餘弦、向量的座標表達式，掌握用座標表達式進行向量運算的方法.

4.掌握平面方程和直線方程及其求法.

5.會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，並會利用平面、直線的相互關係(平行、垂直、相交等)解決有關問題.

6.會求點到直線以及點到平面的距離.

7.瞭解曲面方程和空間曲線方程的概念.

8.瞭解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程.

9.瞭解空間曲線的參數方程和一般方程.瞭解空間曲線在座標平面上的投影，並會求該投影曲線的方程.

多元函數微分學

考試要求

1.理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

2.瞭解二元函數的極限與連續的概念以及有界閉區域上連續函數的性質.

3.理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，瞭解全微分存在的必要條件和充分條件，瞭解全微分形式的不變性.

4.理解方向導數與梯度的概念，並掌握其計算方法.

5.掌握多元複合函數一階、二階偏導數的求法.

6.瞭解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.

7.瞭解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

8.瞭解二元函數的二階泰勒公式.

9.理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，瞭解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，並會解決一些簡單的應用問題.

多元函數積分學

考試要求

1.理解二重積分、三重積分的概念，瞭解重積分的性質，瞭解二重積分的中值定理.

2.掌握二重積分的計算方法(直角座標、極座標)，會計算三重積分(直角座標、柱面座標、球面座標).

3.理解兩類曲線積分的概念，瞭解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關係.

4.掌握計算兩類曲線積分的方法.

5.掌握格林公式並會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數.

6.瞭解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關係，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，並會用斯托克斯公式計算曲線積分.

7.瞭解散度與旋度的概念，並會計算.

8.會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等).

無窮級數

考試要求

1.理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

2.掌握幾何級數與 級數的收斂與發散的條件.

3.掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.

4.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

5. 瞭解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關係.

6.瞭解函數項級數的收斂域及和函數的概念.

7.理解冪級數收斂半徑的概念、並掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法.

8.瞭解冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，並會由此求出某些數項級數的和.

9.瞭解函數展開爲泰勒級數的充分必要條件.

10.掌握 及 的麥克勞林(Maclaurin)展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數.

11.瞭解傅里葉級數的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數展開爲傅里葉級數，會將定義在 上的函數展開爲正弦級數與餘弦級數，會寫出傅里葉級數的和函數的表達式.

常微分方程

考試要求

1.瞭解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.

3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程.

4.會用降階法解下列形式的微分方程： .

5.理解線性微分方程解的性質及解的結構.

6.掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法，並會解某些高於二階的常係數齊次線性微分方程.

7.會解自由項爲多項式、指數函數、正弦函數、餘弦函數以及它們的和與積的二階常係數非齊次線性微分方程.

8.會解歐拉方程.

9.會用微分方程解決一些簡單的應用問題. 第一章：行列式

考試內容：

行列式的概念和基本性質 行列式按行(列)展開定理

考試要求：

1.瞭解行列式的概念，掌握行列式的性質.

2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.

第二章：矩陣

考試內容：

矩陣的概念 矩陣的線性運算 矩陣的乘法 方陣的冪 方陣乘積的行列式 矩陣的轉置 逆矩陣的概念和性質矩陣可逆的充分必要條件 伴隨矩陣 矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣等價 分塊矩陣及其運算

考試要求：

1.理解矩陣的概念，瞭解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質.

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，瞭解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.

4.理解矩陣的初等變換的概念，瞭解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法.

5.瞭解分塊矩陣及其運算.

第三章：向量

考試內容：

向量的概念 向量的線性組合和線性表示 向量組的線性相關與線性無關 向量組的極大線性無關組等價向量組 向量組的秩 向量組的秩與矩陣的秩之間的關係 向量空間以及相關概念 n維向量空間的基變換和座標變換 過渡矩陣 向量的內積 線性無關向量組的正交規範化方法 規範正交基 正交矩陣及其性質

考試要求：

1.理解n維向量、向量的線性組合與線性表示的概念.

2.理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.

3.理解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.

4.理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關係

5.瞭解n維向量空間、子空間、基底、維數、座標等概念.

6.瞭解基變換和座標變換公式，會求過渡矩陣.

7.瞭解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規範化的施密特(Schmidt)方法.

8.瞭解規範正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質.

第四章：線性方程組

考試內容:

線性方程組的克萊姆(Cramer)法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件 線性方程組解的性質和解的結構 齊次線性方程組的基礎解系和通解 解空間 非齊次線性方程組的通解

考試要求

l.會用克萊姆法則.

2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.

3.理解齊次線性方程組的基礎解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.

4.理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

第五章：矩陣的特徵值及特徵向量

考試內容:

矩陣的特徵值和特徵向量的概念、性質 相似變換、相似矩陣的概念及性質 矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣 實對稱矩陣的特徵值、特徵向量及相似對角矩陣

考試要求:

1.理解矩陣的特徵值和特徵向量的概念及性質，會求矩陣的特徵值和特徵向量.

2.理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化爲相似對角矩陣的方法.

3.掌握實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的'性質.

第六章：二次型

考試內容：

二次型及其矩陣表示 合同變換與合同矩陣二次型的秩 慣性定理 二次型的標準形和規範形 用正交變換和配方法化二次型爲標準形 二次型及其矩陣的正定性

考試要求：

1.掌握二次型及其矩陣表示，瞭解二次型秩的概念，瞭解合同變化和合同矩陣的概念 瞭解二次型的標準形、規範形的概念以及慣性定理.

2.掌握用正交變換化二次型爲標準形的方法，會用配方法化二次型爲標準形.

3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，並掌握其判別法 第一章：隨機事件和概率

考試內容：

隨機事件與樣本空間 事件的關係與運算 完備事件組 概率的概念 概率的基本性質 古典型概率 幾何型概率 條件概率 概率的基本公式 事件的獨立性 獨立重複試驗 考試要求：

1.瞭解樣本空間(基本事件空間)的概念，理解隨機事件的概念，掌握事件的關係與運算.

2.理解概率、條件概率的概念，掌握概率的基本性質，會計算古典型概率和幾何型概率，掌握概率的加法公式、減法公式、乘法公式、全概率公式，以及貝葉斯(Bayes)公式.

3.理解事件的獨立性的概念，掌握用事件獨立性進行概率計算;理解獨立重複試驗的概念，掌握計算有關事件概率的方法.

第二章：隨機變量及其分佈

考試內容：

隨機變量 隨機變量的分佈函數的概念及其性質離散型隨機變量的概率分佈連續型隨機變量的概率密度 常見隨機變量的分佈 隨機變量函數的分佈

考試要求：

1.理解隨機變量的概念.理解分佈函數

的概念及性質.會計算與隨機變量相聯繫的事件的概率.

2.理解離散型隨機變量及其概率分佈的概念，掌握0-1分佈、二項分佈 、幾何分佈、超幾何分佈、泊松(Poisson)分佈 及其應用.

3.瞭解泊松定理的結論和應用條件，會用泊松分佈近似表示二項分佈.

4.理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，掌握均勻分佈 、正態分佈 、指數分佈

及其應用，其中參數爲λ(λ>0)的指數分佈的概率密度爲

5.會求隨機變量函數的分佈.

第三章：多維隨機變量及其分佈

考試內容

多維隨機變量及其分佈 二維離散型隨機變量的概率分佈、邊緣分佈和條件分佈 二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣概率密度和條件密度

隨機變量的獨立性和不相關性 常用二維隨機變量的分佈 兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分佈

考試要求

1.理解多維隨機變量的概念，理解多維隨機變量的分佈的概念和性質. 理解二維離散型隨機變量的概率分佈、邊緣分佈和條件分佈，理解二維連續型隨機變量的概率密度、邊緣密度和條件密度，會求與二維隨機變量相關事件的概率.

2.理解隨機變量的獨立性及不相關性的概念，掌握隨機變量相互獨立的條件.

3.掌握二維均勻分佈，瞭解二維正態分佈

的概率密度，理解其中參數的概率意義.

4.會求兩個隨機變量簡單函數的分佈，會求多個相互獨立隨機變量簡單函數的分佈.

第四章：隨機變量的數字特徵

考試內容

隨機變量的數學期望(均值)、方差、標準差及其性質 隨機變量函數的數學期望 矩、協方差、相關係數及其性質

考試要求

1.理解隨機變量數字特徵(數學期望、方差、標準差、矩、協方差、相關係數)的概念，會運用數字特徵的基本性質，並掌握常用分佈的數字特徵

2.會求隨機變量函數的數學期望.

第五章：大數定律和中心極限定理

考試內容

切比雪夫(Chebyshev)不等式切比雪夫大數定律伯努利(Bernoulli)大數定律辛欽(Khinchine)大數定律 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-laplace)定理 列維-林德伯格(Levy-Lindberg)定理

考試要求

1.瞭解切比雪夫不等式.

2.瞭解切比雪夫大數定律、伯努利大數定律和辛欽大數定律(獨立同分布隨機變量序列的大數定律) .

3.瞭解棣莫弗-拉普拉斯定理(二項分佈以正態分佈爲極限分佈)和列維-林德伯格定理(獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理) .

第六章：數理統計的基本概念

考試內容

總體 個體 簡單隨機樣本 統計量 樣本均值 樣本方差和樣本矩 分佈 分佈 分佈 分位數 正態總體的常用抽樣分佈

考試要求

1.理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩的概念，其中樣本方差定義爲：

2.瞭解 分佈、 分佈和 分佈的概念及性質，瞭解上側 分位數的概念並會查表計算.

3.瞭解正態總體的常用抽樣分佈.

第七章：參數估計

考試內容

點估計的概念 估計量與估計值 矩估計法 最大似然估計法 估計量的評選標準 區間估計的概念單個正態總體的均值和方差的區間估計兩個正態總體的均值差和方差比的區間估計

考試要求

1.理解參數的點估計、估計量與估計值的概念.

2.掌握矩估計法(一階矩、二階矩)和最大似然估計法.

3.瞭解估計量的無偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，並會驗證估計量的無偏性.

4.理解區間估計的概念，會求單個正態總體的均值和方差的置信區間，會求兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間.

第八章：假設檢驗

考試內容

顯著性檢驗假設檢驗的兩類錯誤 單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗

考試要求

1.理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設檢驗的基本步驟，瞭解假設檢驗可能產生的兩類錯誤.

2.掌握單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗b