關於極限與探索性問題的解題技巧

【命題趨向】

綜觀歷屆全國各套大學聯考數學試題,我們發現對極限的考查有以下一些知識類型與特點:

1.數學歸納法

①客觀性試題主要考查學生對數學歸納法的實質的理解,掌握數學歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恆等變換的運用).

②解答題大多以考查數學歸納法內容爲主,並涉及到函數、方程、數列、不等式等綜合性的知識,在解題過程中通常用到等價轉化,分類討論等數學思想方法,是屬於中高檔難度的題目

③數學歸納法是大學聯考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想,抽象與概括,從特殊到一般是應用數學歸納法的一種主要思想方法. 在由n=時命題成立,證明n= 1命題也成立時,要注意設法化去增加的項,通常要用到拆項、組合、添項、減項、分解、化簡等技巧,這一點要高度注意.

2. 數列的極限

①客觀性試題主要考查極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容,對基本的計算技能要求比較高,直接運用四則運算法則求極限.

②解答題大多結合數列的計算求極限等,涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題,在解題過程中通常用到等價轉化,分類討論等數學思想方法,是屬於中高檔難度的題目.

③數列與幾何:由同樣的方法得到非常有規律的同一類幾何圖形,通常相關幾何量構成等比數列,這是一類新題型.

3.函數的極限

①此部分爲新增內容,本章內容在大學聯考中以填空題和解答題爲主.應着重在概念的理解,通過考查函數在自變量的某一變化過程中,函數值的變化趨勢,說出函數的極限.

②利用極限的運算法則求函數的極限進行簡單的運算.

③利用兩個重要極限求函數的極限.

④函數的連續性是新教材新增加的內容之一.它把高中的'極限知識與大學知識緊密聯在一起.在大學聯考中,必將這一塊內容溶入到函數內容中去,因而一定成爲大學聯考的又一個熱點.

4.在一套高考試題中,極限一般分別有1個客觀題或1個解答題,分值在5分-12分之間.

5.在大學聯考試題中,極限題多以低檔或中檔題目爲主,一般不會出現較難題,更不會出現難題,因而極限題是大學聯考中的得分點.

6.注意掌握以下思想方法

① 極限思想:在變化中求不變,在運動中求靜止的思想;

② 數形結合思想,如用導數的幾何意義及用導數求單調性、極值等.

此類題大多以解答題的形式出現,這類題主要考查學生的綜合應用能力,分析問題和學生解決問題的能力,對運算能力要求較高.

【考點透視】

1.理解數學歸納法的原理,能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.

2.瞭解數列極限和函數極限的概念.

3.掌握極限的四則運算法則;會求某些數列與函數的極限.

4.瞭解函數連續的意義,瞭解閉區間上連續函數有最大值和最小值的性質.

【例題解析】

考點1 數列的極限

1.數列極限的定義:一般地,如果當項數n無限增大時,無窮數列{an}的項an無限地趨近於某個常數a(即|an-a|無限地接近於0),那麼就說數列{an}以a爲極限.

注意:a不一定是{an}中的項.

2.幾個常用的極限:① C=C(C爲常數);② =0;③ qn=0(|q|<1).

3.數列極限的四則運算法則:設數列{an}、{bn},

當 an=a, bn=b時, (an±bn)=a±b;

例1. ( 2006年湖南卷)數列{ }滿足: ,且對於任意的正整數,n都有 ,則 ( )

A. B. C. D.2

[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用.

[解答過程]由 和 得

故選A.

例2.(2006年安徽卷)設常數 , 展開式中 的係數爲 ,則 _____.

[考查目的]本題考查利用二項式定理求出關鍵數, 再求極限的能力.

[解答過程] ,由 ,所以 ,所以爲1.

例3. (2007年福建卷理)把 展開成關於 的多項式,其各項係數和爲 ,則 等於( ) ( )

A. B. C. D.2

[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用.

[解答過程]

故選D