數學文化偉大的創造者迪卡爾的故事

笛卡兒在數學上的傑出貢獻主要是將代數和幾何巧妙聯結在一起，從而創造瞭解析幾何這門新數學分支。幾何這門從古希臘時代就產生並經過歐幾里得總結的學科，它經過兩千年來無數個數學家們的不斷完善，就像一座雄偉的宮殿高聳在數學王國之中。笛卡兒非常喜歡這座宮殿，在這裏的每一個證明題就像一顆顆閃光的珍珠叫人愛不釋手。然而笛卡兒發現，人們只能一顆顆地把這些珠子撿起，卻很難用線將這些各具特色的珠子都串起來。當時的代數，由於數學家們片面地強調形式的美和協調性，因此被法則和公式鎖得死死的，人們往往只能在狹隘的領域裏徘徊。笛卡兒批評當時的代數是一種充滿混雜與晦暗，故意用來阻礙思想的藝術，而不像一門改進思想的科學。笛卡兒主張讓代數和幾何中一切最美好的東西互相取長補短，於是他開始着手尋找一種能讓代數和幾何聯結的新方法。

1619 年在多瑙河畔的軍營中，笛卡兒開始用大部分時間來思考他在數學領域裏的新想法：是不是可以用代數中的計算過程來代替幾何中的證明呢?要想這樣做就必須找到一座能連接幾何和代數的橋樑使幾何圖形數值化，從而能用計算的方法加以解決。在那些日子裏，笛卡兒的思維一直處於一種高度的興奮狀態。

奇蹟終於出現了，11月10日晚上，笛卡兒躺在牀上迷迷糊糊地進入了夢鄉。他夢見自己用金鑰匙打開了歐幾里得的數學宮殿的大門，遍地的珍珠光彩奪目。他拿起一根線剛把珠子串了起來，線突然斷了，珠子撒了一地。突然，這些珠子都不見了，宮殿裏頓時空曠如坪。這時，他看見窗前一隻黑色的蒼蠅在疾飛着，眼前留下蒼蠅飛過的痕跡一條條的斜線和各種形狀的曲線。這些不正是他最近全力研究的直線和曲線嗎?笛卡兒呆住了。一會兒蒼蠅停住了，在眼前留下一個深深的小黑點……笛卡兒從夢中驚醒過來，腦海中還不時浮現出夢中的情景，讓他異常興奮，使他難以入睡。突然，笛卡兒悟出了這其中的奧妙：蒼蠅的位置不是可以由窗框兩邊的距離來確定嗎?蒼蠅疾飛時留下的痕跡不正是說明直線和曲線都可以由點的運動而產生嗎?笛卡兒興奮極了，一骨碌爬起來，拿筆計算。在他的回憶錄中這樣寫道：第二天，我開始懂得這一驚人發現的基本原理。這就是他建立解析幾何的重要線索。

笛卡兒用兩條互相垂直並且相交於原點的數軸作爲基準，將平面上的點的位置確定下來，這就是後來人們所說的笛卡兒座標系。笛卡兒座標系的建立，爲用代數的方法研究幾何而架設了橋樑。它使幾何中點(P)的位置，能和有次序的兩個實數(x，y)一對應。座標系裏點的座標連續不斷地變化，在平面上的直線和曲線就可以用方程y=f(x)來表示。

1637 年笛卡兒出版了《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》一書，其中在附錄《幾何》部分出現了關於座標幾何，也就是現在稱爲解析幾何的'內容。雖然在今天看來還是很不完備，然而難能可貴的是他引入了一種新思想，將代數和幾何巧妙地結合起來，開始了數學的一次根本性的變革。

從此，常量數學發展到變量數學，微積分也就跟着產生了。解析幾何的創立，成爲數學發展史中的一個轉折點。正如18 世紀的數學家拉格郎日說的那樣：只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用領域就不會寬廣;但是當這兩門科學結成夥伴時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以後就以快速的步伐走向完善。的確，17 世紀以後，數學的巨大發展在很大程度上應歸功於笛卡兒的解析幾何。它改變了科學的歷史進程，也爲笛卡兒贏得了巨大的榮譽。

笛卡兒當初只是企圖通過解析幾何來給數學引進新的方法，而他的成就卻遠遠超過了他的期望。在當時，歐洲主要資本主義國家的工業和商業已經開始迅速發展起來。解析幾何的顯著優點，正在於它恰好提供了科學發展所需要的數學工具。當時的測量、航海、曆法計算、天文觀測、拋物運動研究和透鏡設計都需要數量知識，而解析幾何的出現，便可使人們把形象的幾何圖形和運動過程變成代數的形式，用數量的知識加以研究計算，從而使這些知識能更有效地爲技術需要服務，推動了生產力和科學的向前發展。

以後，笛卡兒還在書信中傳播了他關於解析幾何的思想。與笛卡兒同時代的數學家費馬，對解析幾何的奠基也作出了許多貢獻。他對笛卡兒的著作曾提出了許多意見和見解，從而使解析幾何這門學科被越來越多的數學家所接受，並逐步完善起來。