數學運用公式二教學設計參考

2.3.2 運用公式法（二）

●教學目標

（一）教學知識點

1.使學生會用完全平方公式分解因式.

2.使學生學習多步驟，多方法的分解因式.

（二）能力訓練要求

在導出完全平方公式及對其特點進行辨析的過程中，培養學生觀察、歸納和逆向思維的能力.

（三）情感與價值觀要求

通過綜合運用提公因式法、完全平方公式，分解因式，進一步培養學生的觀察和聯想能力.

●教學重點

讓學生掌握多步驟、多方法分解因式方法.

●教學難點

讓學生學會觀察多項式的特點，恰當地安排步驟，恰當地選用不同方法分解因式.

●教學方法

觀察—發現—運用法

●教具準備

投影片兩張

第一張（記作2.3.2 A）

第二張（記作2.3.2 B）

●教學過程

Ⅰ.創設問題情境，引入新課

［師］我們知道，因式分解是整式乘法的反過程，倒用乘法公式，我們找到了因式分解的兩種方法：提取公因式法、運用平方差公式法.現在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？

在前面我們不僅學習了平方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且還學習了完全平方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本節課，我們就要學習用完全平方公式分解因式.

Ⅱ.新課

1.推導用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點.

［師］由因式分解和整式乘法的關係，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以.

將完全平方公式倒寫：

a2+2ab+b2=（a+b）2;

a2－2ab+b2=（a－b）2.

便得到用完全平方公式分解因式的公式.

［師］很好.那麼什麼樣的多項式纔可以用這個公式分解因式呢？請大家互相交流，找出這個多項式的特點.

［生］從上面的式子來看，兩個等式的左邊都是三項，其中兩項符號爲“+”，是一個整式的平方，還有一項符號可“+”可“－”，它是那兩項乘積的兩倍.凡具備這些特點的三項式，就是一個二項式的完全平方，將它寫成平方形式，便實現了因式分解.

［師］左邊的特點有（1）多項式是三項式；

（2）其中有兩項同號，且此兩項能寫成兩數或兩式的平方和的形式；

（3）另一項是這兩數或兩式乘積的2倍.

右邊的特點：這兩數或兩式和（差）的平方.

用語言敘述爲：兩個數的平方和，加上（或減去）這兩數的'乘積的2倍，等於這兩個數的和（或差）的平方.

形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子稱爲完全平方式.

由分解因式與整式乘法的關係可以看出，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法.

投影（2.3.2 A）

練一練

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）x2+4x+42;

（3）4a2+2ab+ b2;

（4）a2－ab+b2;

（5）x2－6x－9;

（6）a2+a+0.25.

［師］判斷一個多項式是否爲完全平方式，要考慮三個條件，項數是三項；其中有兩項同號且能寫成兩個數或式的平方；另一項是這兩數或式乘積的2倍.

［生］（1）是.

（2）不是；因爲4x不是x與2乘積的2倍；

（3）是；

（4）不是不是a與b乘積的2倍.

（5）不是，x2與－9的符號不統一.

（6）是.

2.例題講解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49;

（2）（+n）2－6（ +n）+9.

［師］分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然後再根據公式分解因式.公式中的a,b可以是單項式，也可以是多項式.

解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（ +n）2－6（ +n）+9=（ +n）2－2（ +n）×3+32=［（ +n）－3］2=（ +n－3）2.

［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6ax+3a2;

（2）－x2－42+4x.

［師］分析：對一個三項式，如果發現它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公因式，若有公因式應先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.

如果三項中有兩項能寫成兩數或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“－”號，然後再用完全平方公式分解因式.

解：（1）3ax2+6ax+3a2

=3a（x2+2x+2）

=3a（x+）2

（2）－x2－42+4x

=－（x2－4x+42）

=－［x2－2x2+（2）2］

=－（x－2）2

Ⅲ.課堂練習

a.隨堂練習

1.解：（1）是完全平方式

x2－x+ =x2－2x +（ ）2=（x－ ）2

（2）不是完全平方式，因爲3ab不符合要求.

（3）是完全平方式

2+3 n+9n2

=（ ）2＋2× ×3n+（3n）2

=（ +3n）2

（4）不是完全平方式

2.解：（1）x2－12x+362

=x2－2x6+（6）2

=（x－6）2;

（2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+24a23b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2x－x2－2

=－（x2+2x+2）

=－（x+）2;

（4）4－12（x－）+9（x－）2

=22－2×2×3（x－）+［3（x－）］2

=［2－3（x－）］2

=（2－3x+3）2

b.補充練習

投影片（2.3.2 B）

把下列各式分解因式：

（1）4a2－4ab+b2;

（2）a2b2+8abc+16c2;

（3）（x+）2+6（x+）+9;

（4） － +n2;

（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;

（6） x2－x4－

解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－22ab+b2=（2a－b）2;

（2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2ab4c+（4c）2=（ab+4c）2;

（3）（x+）2+6（x+）+9

=（x++3）2;

（4） － +n2=（ ）2－2× ×n+n2=（ －n）2;

（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9

=［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32

=［2（2a+b）－3］2

=（4a+2b－3）2;

（6） x2－x4－

=－（x4－ x2+ ）

=－［（x2）2－2x2 +（ ）2］

=－（x2－ ）2

Ⅳ.課時小結

這節課我們學習了用完全平方公式分解因式.它與平方差公式不同之處是：

（1）要求多項式有三項.

（2）其中兩項同號，且都可以寫成某數或式的平方，另一項則是這兩數或式的乘積的2倍，符號可正可負.

同時，我們還學習了若一個多項式有公因式時，應先提取公因式，再用公式分解因式.

Ⅴ.課後作業

習題2.5

1.解：（1）x22－2x+1=（x－1）2;

（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;

（3）2++ =（+ ）2;

（4）252－80 +64=（5 －8）2;

（5） +x+2=（ +）2;

（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2

2.解：（1）（x+）2+6（x+）+9

=［（x+）+3］2

=（x++3）2;

（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2

=［a－（b+c）］2

=（a－b－c）2;

（3）4x2－4x2－3

=（4x－4x2－2）

=－（4x2－4x+2）

=－（2x－）2;

（4）－a+2a2－a3

=－（a－2a2+a3）

=－a（1－2a+a2）

=－a（1－a）2.

3.解：設兩個奇數分別爲x、x－2,得

x2－（x－2）2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］

=（x+x－2）（x－x+2）

=2（2x－2）

=4（x－1）

因爲x爲奇數，所以x－1爲偶數，因此4（x－1）能被8整除.

Ⅵ.活動與探究

寫出一個三項式，再把它分解因式（要求三項式含有字母a和b，分數、次數不限，並能先用提公因式法，再用公式法分解因式.

分析：本題屬於答案不固定的開放性試題，所構造的多項式同時具備條件：①含字母a和b；②三項式；③可提公因式後，再用公式法分解.

參考答案：

4a3b－4a2b2+ab3

=ab（4a2－4ab+b2）

=ab（2a－b）2

●板書設計

2．3．2 運用公式法（二）

一、1.推導用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特點

投影片（2.3.2 A）

2.例題講解

例1、例2

二、課堂練習

a.隨堂練習

b.補充練習（投影片2.3.2 B）

三、課時小結

四、課後作業

●備課資料

參考練習

把下列各式分解因式

1.－4x－4x2－2;

2.3ab2+6a2b+3a3;

3.（s+t）2－10（s+t）+25;

4.0.25a2b2－abc+c2;

5.x2－6x+9;

6.2x32－16x2+32x;

7.16x5+8x32+x4

參考答案：

解：1.－4x－4x2－2

=－（4x2+4x+2）=－（2x+）2;

2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;

3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;

4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;

5.x2－6x+9=（x2－6x+9）=（x－3）2;

6.2x32－16x2+32x=2x（x22－8x+16）=2x（x－4）2;

7.16x5+8x32+x4=x（16x4+8x22+4）=x（4x2+2）2.