機械能守恆與曲線運動

機械能守恆問題難點之一是系統前後運動方式與狀態不同，一個似乎簡單的問題卻隱含很多複雜情況。機械能守恆指的是系統前後狀態的關係，而在整個運動過程中肯定與運動學聯繫緊密。

基本原理：曲線運動過程中，若滿足機械能守恆定律的條件，那麼可以求出某一過程的初末狀態的速度和高度，結合平拋和圓周運動的規律解題。

【例題】一個內壁光滑半徑爲R的細圓管放在豎直平面內，其中1/4被截去，如圖所示。一小鋼球從A處正對着管口B落下，第一種情況要使鋼球到C點時對細管無作用力，第二種情況恰能使球經C點平拋後落回到B點。求兩種情況下小鋼球下落點A距B點的高度h爲多少？

【解析】小球從A點開始下落，經過圓管道到達C點的過程中，以OB所在平面爲零勢能面，由機械能守恆定律得：

mgh =mvC2/2 +mgR ①

第一種情況下，對小球有

mg=mvC2/R ②

①②結合解得：h=3R/2

第二種情況下，對小球有

①③結合解得：h=5R/4

【例題】小球的`質量爲m，沿光滑彎曲軌道滑下，與彎曲軌道相接的光滑圓軌道的半徑爲R，如圖所示。爲確保小球做完整的圓周運動，小球下滑的高度h的最小值爲多少？

【解析】小球在沿光滑的軌道滑動的整個過程中，只有重力做功，機械能守恆。選取地面爲零勢能面，設小球運動到半圓形軌道的最高點時速度爲v，由機械能守恆定律得 mgh=mv2/2+2mgR ①

要使小球能完整的圓周運動，在最高點時應滿足條件mg=mv2/R ②

①②兩式結合解得h=5R/2。

【點評】關鍵兩點：選擇恰當的零勢能面;明確圓周運動最高點的臨界條件。