讓靜止的圖形動起來的奧數題
以靜變動,讓靜止的圖形動起來,這是一種動態的思想方法,這種思想方法在求解幾何圖形面積時是常常用到的。現舉例如下:
一、旋轉的思想方法
將所給圖形中的某一部分繞一個固定點旋轉一定(或適當)的角度,變爲較明顯的簡單而又直觀的圖形。
例1 如圖1中的兩個三角形都是正三角形,大三角形的面積是小三角形面積的多少倍?
分析與解 觀察圖1可見,只需將小三角形繞圓心旋轉60°,得到如圖2所示的圖形。小三角形將大三角形分別割成面積相等的四塊。因此大三角形的面積是小三角形面積的4倍。
例2 求圖3中陰影部分的面積。(π取3)(單位:釐米)
分析與解 觀察圖3發現,只要將圖中右邊的陰影部分繞圓心逆時針方向旋轉90°就得到圖4所示的形狀。所求的陰影部分的面積就是大扇形的面積與空白部分(三角形)面積的差。即
二、移動的思想方法
1.點的移動:將圖中的某一點看作一個“動點”沿直線移動,使原來分着的空白部分合並在一起變成一個簡單明瞭的圖形。
例3 如圖5,已知長方形的長是8釐米,寬是4釐米,圖中陰影部分面積是10平方釐米,求OD長多少釐米?
分析與解 觀察圖5,把圖中的陰影部分看作兩個三角形(即△ABO和△CBO),將這兩個三角形中的A點和C點分別看作“動點”平移到如圖6所示的A‘點和C’點(等底等高,面積相等),等積變形爲一個簡單的三角形A'C'O.因爲陰影部分面積是10平方釐米,A'C‘的長爲4釐米,所以OB的長度爲(10×2÷4=)5(釐米),因此OD的長度是(8-5=)3(釐米)。
2.面的移動:將所給圖形中的某個圖形沿直線上下左右移動,把複雜的圖形轉化成簡單的圖形,使原來面積不等變成相等。
例4 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片,放在一個正方形盒內,它們之間互相疊合(如圖7),已知露在外面的部分中,紅色面積是20,黃色面積爲14,綠色面積是10,那麼正方形盒子的面積是多少?
分析與解 根據題目的條件,觀察圖7,發現黃色正方形沿着正方形盒子的邊線慢慢向左平移,黃色紙片的小部分逐漸被紅色紙片所蓋沒,綠色紙片卻逐漸在增加,黃色紙片蓋住的部分就是綠色紙片增加的部分。直移到紅色與黃色兩紙片下上對齊。此時綠色紙片也暴露到了最大的程度(如圖8),而且黃色紙片與綠色紙片的面積是相等的.。即黃色和綠色的面積都爲((10+14)÷2=)12.我們把留出的空白部分假設爲白色,從圖中可看出,紅、黃兩紙片有一邊相同,綠、白兩紙片也有一邊相同,所以它們各自面積之比等於相應邊長的比。便有:
因此,所求正方形盒子的面積爲
20+12+12+7.2=51.2
三、翻折的思想方法
將所給圖形的某一部分以某一直線爲對稱軸翻折,使原來複雜的圖形變爲直觀圖形。
例5 如圖9,長方形的長是8,寬是6,A和B是寬的中點,求長方形內陰影部分的面積。
分析與解 觀察圖9,根據題目的條件可知直線AB將原大長方形分成大小一樣的兩個小長方形。只需把下面的小長方形以直線AB爲對稱軸向上翻折,就把下面長方形內的陰影部分合併到如圖10所示的上面的長方形中。我們知道陰影部分的面積就是小長方形面積的一半,即所求陰影部分的面積爲
8×(6÷2)÷2=12.
例6 在圖11中,圓的半徑爲r,求陰影部分的面積。
分析與解 以圖11中的水平直徑作爲對稱軸,將上半部分往下翻折,使陰影部分拼合成兩個三角形(如圖12)。可以看出,所求的陰影部分面積等於梯形面積與空白部分(即三角形面積)的差。所以
陰影部分面積=(2r+4r)×r÷2-2r×r÷2=2r2.
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