八年級上冊數學全等三角形知識點的總結
定義
能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比為1:1的特殊情況)
當兩個三角形完全重合時,互相重合的頂點叫做對應頂點,互相重合的邊叫做對應邊,互相重合的角叫做對應角。
由此,可以得出:全等三角形的對應邊相等,對應角相等。
(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊,兩個對應角所夾的邊是對應邊;
(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角,兩條對應邊所夾的角是對應角;
(3)有公共邊的,公共邊一定是對應邊;
(4)有公共角的,角一定是對應角;
(5)有對頂角的,對頂角一定是對應角;
表示:全等用“≌”表示,讀作“全等於”。
判定公理
1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”),這一條也說明了三角形具有穩定性的原因。
2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或“邊角邊”)。
3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或“角邊角”)。
由3可推到
4、有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或“角角邊”)
5、直角三角形全等條件有:斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL或“斜邊,直角邊”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,沒有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形為HL,屬於SSA)邊邊角,這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。 A是英文角的縮寫(angle),S是英文邊的縮寫(side)。
H是英文斜邊的縮寫(Hypotenuse),L是英文直角邊的縮寫(leg)。
6.三條中線(或高、角分線)分別對應相等的兩個三角形全等。
三角形全等的條件:
1、全等三角形的對應角相等。
2、全等三角形的對應邊相等
3、全等三角形的對應頂點相等。
4、全等三角形的對應邊上的高對應相等。
5、全等三角形的對應角平分線相等。
6、全等三角形的對應中線相等。
7、全等三角形面積相等。
8、全等三角形周長相等。
9、全等三角形可以完全重合。
三角形全等的方法:
1、三邊對應相等的兩個三角形全等。(SSS)
2、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。(SAS)
3、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。(ASA)
4、有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)
5、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。(HL)
推論
要驗證全等三角形,不需驗證所有邊及所有角也對應地相同。以下判定,是由三個對應的部分組成,即全等三角形可透過以下定義來判定:
S.S.S. (Side-Side-Side)(邊、邊、邊):各三角形的三條邊的長度都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
S.A.S. (Side-Angle-Side)(邊、角、邊):各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等,且兩條邊夾著的角都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、邊、角):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且兩個角夾著的邊都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
A.A.S. (Angle-Angle-Side)(角、角、邊):各三角形的其中兩個角都對應地相等,且沒有被兩個角夾著的邊都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
R.H.S. / H.L. (Right Angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜邊、邊):各三角形的.直角、斜邊及另外一條邊都對應地相等的話,該兩個三角形就是全等。
但並非運用任何三個相等的部分便能判定三角形是否全等。以以下的判定同樣是運用兩個三角形的三個相等的部分,但不能判定全等三角形:
A.A.A. (Angle-Angle-Angle)(角、角、角):各三角形的任何三個角都對應地相等,但這並不能判定全等三角形,但則可判定相似三角形。
A.S.S. (Angle-Side-Side)(角、邊、邊):各三角形的其中一個角都相等,且其餘的兩條邊(沒有夾著該角),但這並不能判定全等三角形,除非是直角三角形。但若是直角三角形的話,應以R.H.S.來判定。
1、性質中三角形全等是條件,結論是對應角、對應邊相等。 而全等的判定卻剛好相反。
2、利用性質和判定,學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩個三角形全等時,一定把對應的頂點,角、邊的順序寫一致,為找對應邊,角提供方便。
3,當圖中出現兩個以上等邊三角形時,應首先考慮用SAS找全等三角形。
4、用在實際中,一般我們用全等三角形測相等的距離。以及相等的角,可以用於工業和軍事。
5、三角形具有一定的穩定性,所以我們用這個原理來做腳手架及其他支撐物體。
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