高二數學考試中導數常見易錯的考點總結
高二數學的第二學期,學生將完成所有基礎知識內容的學習。對於絕大多數的理科生而言,這個學期的前半學期學習的是選修2-2這本書,所以很自然的,這本書中的重點--導數將會成為這次期中考試的核心知識點。
導數這部分內容對於中學生來說比較抽象,加之新課改更強調數學的工具性,因此很多學生學完導數,對導數的運演算法則掌握的比較好--這也是必要的,而對於導數的基本概念、應用中的常見易錯點掌握的並不熟練。本文不會面面俱到的講導數的每種考察方式,而是列舉幾個學生容易忽略的易錯考點,已達到查漏補缺的目的。
在歷次期會考試中,學生在導數這部分知識常見的易錯點包括:
一、對導數基本概念的理解。
導數的本質是平均變化率的極限,也就是,而這裡的形式並不重要,只要是是相同區間上的函式值之差比上自變數之差,就是導數。如果能理解清楚這一點,再看題目常出的、之類的形式,就感覺比較清晰了。
二、複合函式求導計算錯誤。
對於複合函式求導的規則,同學大多掌握的不錯,但題目中真正出現複合函式的時候,計算還是會出問題。問題出在哪,不在於不會算,而是沒有發現這是複合函式。
課標要求學生掌握形如f(ax+b)的複合函式求導規則,這一點已經限制的很死板了。所以當題目中的函式比較符合這個形式的時候,同學大多也是認的出來的,比如這樣的函式。反而是內層函式更簡單的時候,會被學生忽略,例如這樣的函式。所以同學在求導的時候,一定要刻意觀察這一點,識別隱蔽在這裡的陷阱。
三、導數與單調區間的關係。
利用導數求函式的的單調區間是導數應用中最基本的題型,按說本不是什麼難點。但是這裡有一個最大的麻煩,就是導數與函式的單調性不是充要條件。因此,什麼時候寫,又在什麼時候應該寫是很多同學犯迷糊的地方。
這裡需要注意一個要點,我們每一步運算或者推導,得到的條件其實都是原條件的必要非充分條件,想清楚這一點,面對這個問題就清晰了。
如果原題讓我們求函式的增區間,我們就用增區間的充分非必要條件,也就是來求範圍;如果原題給了我們函式增區間的性質,我們就利用增區間的必要非充分條件,也就是來解題。
四、含參導數問題。
導數這部分的大題,簡單題通常很常規,給一個不含參的函式,求單調區間和極值,也可能再利用極值分析一下函式根的分佈。而比較難的'大題,往往是考察含參函式的性質。
含參的導數問題,又有兩種典型的考法。
一種是考察函式的單調區間,近兩年北京大學聯考題的導數大題就是這麼考察的。考察的重點在於對引數進行分類討論。這時候往往先考慮現有條件對引數有沒有限制,如果有限制,一定要在限制範圍內分類討論。
另一種是給定函式在某區間的單調性,求引數的取值範圍。這種含參不等式的問題,往往可以通過分離變數或類似的方法,轉化為不等式的恆成立問題。而恆成立的含義,一定是比比最大的還大或比最小的還小。因此恆成立問題往往又可以轉化為求函式最值的問題。而給定函式求最值,又是同學學習導數應用的基本功。所以,這類題目,只要思路清晰,往往也並不難處理。
導數這部分知識雖然學生以前並不熟悉,又比較抽象。但是整體而言,期會考試的考察不會太難,題目的結構和形式往往同學在是日常練習中所熟悉的。因此,把常見的易錯點進行梳理和分析,考試時做到心中有數,就能讓自己的成績有所突破。
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