數學建模椅子問題論文
椅子能在不平的地面上放穩
把椅子往不平的地面上一放,通常只有三隻腳著地,放不穩,然而只要稍挪動幾次,就可以四腳著地,放穩了。下面用數學語言證明。
一、 模型假設
對椅子和地面都要作一些必要的假設:
1、 椅子四條腿一樣長,椅腳與地面接觸可視為一個點,四腳的連線呈正方形。
2、 地面高度是連續變化的,沿椅子的任何方向都不會出現間斷(沒有像臺階那樣的情況),即地面可視為數學上的連續曲面。
3、 對於椅腳的間距和椅子腳的長度而言,地面是相對平坦的,使椅子在任何位置至少有三隻同時著地。
二、模型建立
中心問題是數學語言表示四隻同時著地的條件、結論。首先用變量表示椅子的位置,由於椅腳的連線呈正方形,以中心為對稱點,正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子的位置的改變,於是可以用旋轉角度80這一變數來表示椅子的位置。
其次要把椅腳著地用數學符號表示出來,如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離,當這個距離為0時,表示椅腳著地了。椅子要挪動位置說明這個距離是位置變數的函式。
由於正方形的'中心對稱性,只要設兩個距離函式就行了,記A、C兩腳與地面距離之和為f,B、D兩腳與地面距離之和為g,顯然f、g0,由假設2知f、g都是連續函式,再由假設3知f、g至少有一個為0。當0時,不妨設g0,f0,這樣改變椅子的位置使四隻同時著地,就歸結為如下命題:
命題 已知f、g是的連續函式,對任意,f*g=0,且g00,f00,則存在0,使g0f00。
三、模型求解
將椅子旋轉900,對角線AC和BD互換,由g00,f00可知g20,f20。令hgf,則h00,h20,由f、g的連續性知h也是連續函式,由零點定理,則存在0002使h00,g0f0,由g0*f00,所以g0f00。
四、評 注
模型巧妙在於用已知的元變量表示椅子的位置,用的兩個函式表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對稱性及旋轉900並不是本質的,同學們可以考慮四腳呈長方形的情形。
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