方差分析和正交试验设计
第6章 方差分析和正交试验设计
§6.1 单因子方差分析
在实际问题中,某个指标的取值,往往可能与多个因素有关。例如,农作物的产量,可能与作物的品种有关,可能与施肥量有关,可能与土壤有关,等等。又例如,化工产品的收得率,可能与原料配方有关,可能与催化剂的用量有关,可能与反应温度有关,还可能与反应容器中的压力有关,等等。
由于因素很多,自然就会产生这样的问题:这些因素,对于指标的取值,是否都有显著的作用?如果不是所有的因素都有显著的作用,那么,哪些因素的作用显著?哪些因素的作用不显著?还有,这些因素的作用,是简单地叠加在一起的呢,还是以更复杂的形式交错在一起的?
以上这些问题,都需要我们从试验数据出发,来加以判断、分析,做出结论。方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA)就是一种能够解决这类问题的有效的统计方法。
在方差分析中,将可能与某个指标的取值有关的因素,称为因子(Factor),通常用 A,B,? 来表示。因子所取的各种不同的状态,称为水平(Level),用 A1,A2,?,B1,B2,? 来表示。
如果问题中只考虑一个因子,这样的方差分析称为单因子方差分析。如果问题中要考虑两个因子,这样的方差分析就称为双因子方差分析。当然,还可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。
我们先来看单因子方差分析。
问题 设某个指标的取值可能与一个因子 A 有关,因子 A 有 r 个水平:A1,A2,?,Ar。在这 r 个水平下的指标值,可以看作是 r个相互独立、方差相等的正态总体
?i~N(?i,?2),i?1,2,?,r 。
在每一个水平 Ai 下,对指标作 t (t?1)次重复观测,设观测结果为
Xi1,Xi2,?,Xit ,
它们可以看作是总体 ?i 的样本。即有
问:因子 A 对指标的作用是否显著?
137
检验方法
检验因子 A 的`作用是否显著,相当于要检验这样一个假设
H0:?1??2?r 。
为了作检验,先给出一批定义。称
n?rt 为总观测次数 ,
1t
i??Xij 为水平Ai的均值 , tj?1
SSi??(Xij?i)2 为水平Ai的平方和 ,
j?1t
1rt1r
Xij??i 为总均值 , ni?1j?1ri?1
SST(Xij?)2 为总平方和 ,
i?1j?1rt
SSe(Xij?i)??SSi 为误差平方和 , 2
i?1j?1i?1rtr
SSA?t?(i?)2 为因子A的平方和 。
i?1r
这些统计量之间的相互关系,可以用下列图表的形式表示出来:
水平 观测值 Ai 的平方和 Ai 的均值
1?
r?? 总均值 A1? Ar
X11?X1t←─SS1─→ ?? ? ←─SSr─→ X1?Xrt?r←────→ │←── 误差平方和SSe──→│←─A的平方和SSA──→│ │←───────── 总平方和SST─────────→│
t
SSi??(Xij?i)2 反映了在各水平 Ai 的内部指标取值的差异程度,这种差异
j?1
完全是由于误差引起的,而 SSe 是所有这样的 SSi 的总和,所以称为误差平方和。
SSA?t?(i?)2 反映了各水平之间指标取值的差异程度,如果因子A 的作用i?1r
不显著,各水平之间差异很小,1,2,?,r近似相等,与X差异很小,SSA 的值也比 138
较小,如果因子A 的作用显著,各水平之间差异很大,1,2,?,r与X的差异也很大,
所以称为因子A 的平方和。 SSA 的值就会偏大。SSA 的大小反映了因子 A 的作用大小,
总平方和 SST 、误差平方和 SSe 、因子A 的平方和 SSA 之间,有下列平方和分解关系:
SST?SSe?SSA 。
这是因为
SST(Xij?)2 i?1j?1
rtrt
(X
i?1j?1
rtij?i?i?)2 ?i)?2??(Xij?i)(i?)(i?)2 2
i?1j?1i?1j?1
trtrt (Xi?1j?1ij
?SSe?2?(?X
i?1j?1rij?ti)(i?)?t?(i?)2 i?1r
?SSe?0?SSA?SSe?SSA 。
由 SSA 、SSe 可以算出统计量 MSA?SSA(r?1) 和 MSe?SSe(n?r) 。MSA 称为因子A 的均方,MSe 称为误差均方。由 MSA 、MSe 可以算出统计量
FA?MSASSA(r?1) 。 ?MSeSSe(n?r)
下面证明一个关于 FA 的分布的定理。
定理 6.1 若 H0:?1??2?r 为真,则有
FA?MSASSA(r?1)~F(r?1,n?r) 。 ?MSeSSe(n?r)
2 证 设?1??2?r??,这时有 ?i~N(?,?),i?1,2,?,r 。
因为 Xi1,Xi2,?,Xit 是 ?i的样本,所以 Xij~N(?,?)2Xij??
?~N(0,1),
i?1,2,?,r,j?1,2,?,t,相互独立。 139
Q?
r
t
?Xiji?1j?1??
r
t
2
??(X
i?1j?1
rt
ij
?)2
?
2
??(X
?
i?1j?1
ij2
?)
2
2??(Xij?)(??)?
i?1j?1
rt
??(??)
?
i?1j?1
rt
2
??
SST
?0?
2
?
2
?
SSA
SSe
n(??)2
?2?2
2
?
?
2
?
?2
?
n?Q1?Q2?Q3 。
??
其中,Q1?
r
SSA
?
r
2
?
t?(i?)2
i?1
r
?2
是r项的平方和,但这r项又满足1个线性关系式:
?(i?1
i
?)??i?r?0,所以,Q1的自由度 f1?r?1。
i?1
Q2?
SSe
??(X
?
i?1j?1
rt
ij
?i)2
是 n?rt 项的平方和,但这 n 项又满足 r个线性
t
?
2
?2
ij
关系式:
?(X
j?1
t
?i)??Xij?ti?0,i?1,2,?,r,所以,Q2的自由度
j?1
f2?n?r。
?
?nQ3是1项的平方和,所以,Q3的自由度 f3?1。
??
因为 f1?f2?f3?(r?1)?(n?r)?1?n,所以由定理2.7(Cochran 定理)可知:
2
Q1?
SSA
?
2
2
~?(r?1),Q2?
SSe
?2
?22
?n~?(n?r),Q3~?(1),
??
2
2
而且Q1?
SSA
?
2
,Q2?
SSe
?2
?
?n,Q3相互独立。
??
因此,由F分布的定义可知
140
2SSA(r?1)FA??
SSe(n?r)SSe
SSA
r?1)
~F(r?1,n?r) 。
?
2
n?r)
由定理6.1可知,若H0:?1??2?r 为真,则FA~F(r?1,n?r) ; 若 H0:?1??2?r 不真,则SSA的值会偏大,FA的值也会偏大,统计量FA 的分布,相对于 F(r?1,n?r) 分布来说,峰值的位置会有一个向右的偏移。
因此,可得到检验方法如下:
从样本求出 FA 的值。对于给定的显著水平?,自由度(r?1,n?r),查F分布的分位数表,可得分位数F1??(r?1,n?r),使得 P{FA?F1??(r?1,n?r)}?? ,当
FA?F1??(r?1,n?r) 时,拒绝H0:?1??2?r ,这时,可以认为因子 A 的
作用显著,否则,接受 H0:?1??2?r,这时,可以认为因子 A 的作用不显著 。 单因子方差分析的计算步骤
方差分析的计算比较复杂,用带统计功能的计算器计算时,最好按照下列步骤进行,并把计算结果填写在下列形式的表格中:
t
1t
(1)从Xi1,Xi2,?,Xiti求出 i??Xij 和 SSi??(Xij?i)2,i?1,2,?,r 。
tj?1j?1
t
1t
把Xi1,Xi2,?,Xiti看作样本,i??Xij 就是样本均值,SSi??(Xij?i)2
tj?1j?1
1t2
就是样本方差 S??(Xij?i) 再乘以样本观测次数 t (或修正样本方差
tj?1
2
1t
。所以,在计算器上计算时,只要像计算样本统S*?(Xij?i)2再乘以t?1)?t?1j?1
2
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