大學聯考數學必備方差公式
一.方差的概念與計算公式
例1 兩人的5次測驗成績如下:X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。
平均成績相同,但X 不穩定,對平均值的偏離大。方差描述隨機變量對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值,記為D(X ):直接計算公式分離散型和連續型,具體為:
這裏D(X) 是一個數。推導另一種計算公式
得到:“方差等於平方的均值減去均值的平方”。
其中,分別為離散型和連續型計算公式。 稱為標準差或均方差,方差描述波動
二.方差的'性質
1.設C為常數,則D(C) = 0(常數無波動);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常數平方提取);
證:特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)
3.若X 、Y 相互獨立,則
證:記則前面兩項恰為 D(X )和D(Y ),第三項展開後為當X、Y 相互獨立時,,故第三項為零。特別地獨立前提的逐項求和,可推廣到有限項。
方差公式:
平均數:M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數據個數,x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)
方差公式:S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n
三.常用分佈的方差
1.兩點分佈
2.二項分佈
X ~ B ( n, p )引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現的次數,服從兩點分佈)
3.泊松分佈(推導略)
4.均勻分佈
另一計算過程為
5.指數分佈(推導略)
6.正態分佈(推導略)
7.t分佈 :其中X~T(n),E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分佈:其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~正態分佈的後一參數反映它與均值 的偏離程度,即波動程度(隨機波動),這與圖形的特徵是相符的。
例2 求上節例2的方差。
解 根據上節例2給出的分佈律,計算得到
工人乙廢品數少,波動也小,穩定性好。
方差的定義:
設一組數據x1,x2,x3······xn中,各組數據與它們的平均數x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔),(x2-x拔)······(xn-x拔),那麼我們用他們的平均數s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+·····(xn-x拔)】來衡量這組數據的波動大小,並把它叫做這組數據的方差。
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